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Stetigkeit 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:11 So 11.10.2009
Autor: lisa11

Aufgabe
Geben Sie den Definitonsbereich an und untersuchen sie auf Stetigkeit

f(x) = [mm] \frac{x}{ \left| x \right| } [/mm]    


Mein Ansatz

[mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR [/mm]  \ {0}

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{x} [/mm] = 1 mit  x > 0
für rechtsseitigen Grenzwert


linksseitiger Grenzwert

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{-x} [/mm] = -1 mit x < 0
für den linksseitigen Grenzwert

somit ist 1 [mm] \not= [/mm] -1 und die Funktion ist unstetig

        
Bezug
Stetigkeit 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 So 11.10.2009
Autor: Niladhoc

Hallo,

> Mein Ansatz
>  
> [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm]  \ {0}
>  

Das stimmt.

> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{x}[/mm] = 1 mit  x > 0
>  für rechtsseitigen Grenzwert
>  

Der Wert von x muss gegen +/-0 streben  (da hast du dich vlt verschrieben).
Dann musst du +/-0 einsetzen und l'Hospital anwenden, nur dass du
|x| ausklammerst:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} \frac{x}{|x|}[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} \frac{1*|x|}{1*|x|}[/mm]=1 für x>0
und [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0} \frac{x}{|x|}[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0} \frac{(-1)*|x|}{1*|x|}[/mm]=-1 für x<0

>
> linksseitiger Grenzwert
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{-x}[/mm] = -1 mit x < 0
>  für den linksseitigen Grenzwert
>  
> somit ist 1 [mm]\not=[/mm] -1 und die Funktion ist unstetig

Die Aussage stimmt dann wieder.

lg

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit 2: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:28 So 11.10.2009
Autor: Loddar

Hallo Niladhoc!


Wie leitest Du denn $|x|_$ ab?


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 So 11.10.2009
Autor: Niladhoc

Hallo Loddar,

danke für den Hinweis, die Variante ist garnicht die Regel von l'Hospital, die hieße: [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}. [/mm]

Sorry der Verwechslung wegen.

lg

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Bezug
Stetigkeit 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 So 11.10.2009
Autor: luis52

Moin Lisa,

wenn du den Def-Bereich [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] waehlst, dann ist die Funktion stetig:
Sei [mm] $x_0\in\IR$, $x_0\ne0$. [/mm] Sei ferner [mm] $\varepsilon>0$. [/mm]
1. Fall [mm] $x_0>0$: [/mm] Waehle [mm] $\delta=x_0/2>0$. [/mm] Dann gilt $f(x)=x/|x|=1$
fuer alle [mm] $x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]$, [/mm] und wir erhalten [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|1-1|\le\varepsilon$. [/mm]

Argumentiere nun fuer den 2. Fall: [mm] $x_0<0$. [/mm]

vg Luis

P.S. Du koennstest $f(0)=0$ setzen, und den Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm]
verwenden. Dann waere die Funktion unstetig in [mm] $x_0=0$. [/mm]  

Bezug
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