Stetigkeit <-> Beschränktheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 08.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Hallo, ich soll zeigen, dass die Sesquilinearform [mm] $T\colon H\times H\to\mathbb{C}$, [/mm] H komplexer Hilbertraum, stetig ist genau dann, wenn es ein $C>0$ gibt, s.d. [mm] $\lvert T(x,y)\rvert\leq C\lVert x\rVert\lVert y\rVert~\forall~x,y\in [/mm] H$. |
Also dass aus der Beschränktheit die Stetigkeit folgt, hab ich schon gezeigt mit Folgenkriterium.
Aber die andere Richtung krieg ich nicht hin.
Wie zeigt man sie?
vg mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Fr 09.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich soll zeigen, dass die Sesquilinearform [mm]T\colon H\times H\to\mathbb{C}[/mm],
> H komplexer Hilbertraum, stetig ist genau dann, wenn es ein
> [mm]C>0[/mm] gibt, s.d. [mm]\lvert T(x,y)\rvert\leq C\lVert x\rVert\lVert y\rVert~\forall~x,y\in H[/mm].
>
> Also dass aus der Beschränktheit die Stetigkeit folgt, hab
> ich schon gezeigt mit Folgenkriterium.
>
> Aber die andere Richtung krieg ich nicht hin.
[mm] |T(x,y)-T(x_0,y_0)|=|T(x,y)-T(x_0,y)+T(x_0,y)-T(x_0,y_0)|=|T(x-x_0,y)-T(x_0,y_0-y)|
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Wie zeigt man sie?
>
>
>
> vg mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Fr 09.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Deinen Tipp habe ich benutzt um aus der Beschränktheit die Stetigkeit zu folgern.
Aber ers geht mir ja um die andere Beweisrichtung?
Da kann ich da auch benutzen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Fr 09.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Deinen Tipp habe ich benutzt um aus der Beschränktheit die
> Stetigkeit zu folgern.
>
> Aber ers geht mir ja um die andere Beweisrichtung?
Aua ! Da hab ich nicht hingesehen !
>
> Da kann ich da auch benutzen?!
T sei also stetig. Nimm an, T sei nicht beschränkt. Dann gibt es also kein C>0 mit
(*) $ [mm] \lvert T(x,y)\rvert\leq C\lVert x\rVert\lVert y\rVert~\forall~x,y\in [/mm] H $
Ist n [mm] \in \IN [/mm] ,so gibt es also [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] mit
$ [mm] \lvert T(x_n,y_n)\rvert [/mm] > n [mm] \lVert x_n\rVert\lVert y_n\rVert\$
[/mm]
Edit: es soll lauten: $ [mm] \lvert T(x_n,y_n)\rvert [/mm] > [mm] n^2 \lVert x_n\rVert\lVert y_n\rVert\$
[/mm]
Jetzt gehe über zu [mm] a_n:= \bruch{x_n}{n*||x_n||} [/mm] und [mm] b_n:= \bruch{y_n}{n*||y_n||}
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergieren gegen Null. Was treibt [mm] (T(a_n.b_n)) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Fr 09.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Da habe ich noch ein kleines Problem bei dem Herausziehen des Faktors aus der zweiten Komponente (da muss man ja konjugieren), aber mal konkret:
[mm] $\lvert T(a_n,b_n)\rvert=\left\lvert T\left(\frac{x_n}{n\cdot\lVert x_n\rVert},\frac{y_n}{n\cdot\lVert y_n\rVert}\right)\right\rvert$
[/mm]
Jetzt kann ich doch aus der ersten Komponente einfach [mm] $\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}$ [/mm] "herausziehen" und stehe dann bei
[mm] $\left\vert\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}\cdot T(x_n,\frac{y_n}{n\cdot\lVert y_n\rVert})\right\rvert$
[/mm]
Weiter kann ich dann den Faktor auch aus dem Betrag ziehen und zwar als Betrag,. aber den kann man hier auch weglassen, da ja Zähler und Nenner größer/gleich 0 sind:
[mm] $=\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}\cdot\left\lvert T(x_n,\frac{y_n}{n\cdot\lVert y_n\rVert})\right\rvert$
[/mm]
Jetzt würde ich gerne noch aus der zweiten Koordinate den Faktor herausziehen, aber den muss ich ja konjugieren (Sesquilinearform). Wie konjugiere ich denn [mm] $\frac{1}{n\cdot\Vert y_n\rVert}$?
[/mm]
Also diesen Bruch zu konjugieren ist ja das Gleiche wie 1/n zu konjugieren (das ist einfach wieder 1/n) und mit dem Konjugat von [mm] $1/\lVert y_n\rVert$ [/mm] zu multiplizieren. Also reduziert sich die Frage eigentlich darauf, wie man [mm] $1/\lVert y_n\rVert$ [/mm] konjugiert.
Jedenfalls steht ich dann bei
[mm] $\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}\cdot\lvert\frac{1}{n}\cdot\overline{\frac{1}{\lVert y_n\rVert}} T(x_n,y_n)\rvert$.
[/mm]
Edit:
Achso, es ist doch [mm] $\overline{\frac{1}{\lVert y_n\rVert}}=\frac{\lVert y_n\rVert}{\lvert\lVert y_n\rVert\rvert^2}=\frac{\Vert y_n\rVert}{\lvert\lVert y_n\rVert\rvert\cdot\lvert\lVert y_n\rVert\rvert}=\frac{\Vert y_n\rVert}{\lVert y_n\rVert\cdot\lVert y_n\rVert}=\frac{1}{\Vert y_n\rVert}$
[/mm]
Also habe ich raus:
[mm] $\lvert T(a_n,b_n)\rvert=\frac{\lvert T(x_n,y_n)\rvert}{n^2\Vert x_n\rVert\lVert y_n\rVert}>1$ [/mm] und damit ist die Stetigkeit verletzt.
Noch eine Frage: Woher weiß ich, dass [mm] $\Vert x_n\rVert$ [/mm] und [mm] $\lVert y_n\rVert$ [/mm] ungleich 0 sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 09.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Da habe ich noch ein kleines Problem bei dem Herausziehen
> des Faktors aus der zweiten Komponente (da muss man ja
> konjugieren), aber mal konkret:
>
>
> [mm]\lvert T(a_n,b_n)\rvert=\left\lvert T\left(\frac{x_n}{n\cdot\lVert x_n\rVert},\frac{y_n}{n\cdot\lVert y_n\rVert}\right)\right\rvert[/mm]
>
> Jetzt kann ich doch aus der ersten Komponente einfach
> [mm]\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}[/mm] "herausziehen" und stehe
> dann bei
>
> [mm]\left\vert\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}\cdot T(x_n,\frac{y_n}{n\cdot\lVert y_n\rVert})\right\rvert[/mm]
>
> Weiter kann ich dann den Faktor auch aus dem Betrag ziehen
> und zwar als Betrag,. aber den kann man hier auch
> weglassen, da ja Zähler und Nenner größer/gleich 0
> sind:
>
> [mm]=\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}\cdot\left\lvert T(x_n,\frac{y_n}{n\cdot\lVert y_n\rVert})\right\rvert[/mm]
>
> Jetzt würde ich gerne noch aus der zweiten Koordinate den
> Faktor herausziehen, aber den muss ich ja konjugieren
> (Sesquilinearform). Wie konjugiere ich denn
> [mm]\frac{1}{n\cdot\Vert y_n\rVert}[/mm]?
Mein lieber Herr Gesangsverein !
[mm]\frac{1}{n\cdot\Vert y_n\rVert}[/mm] ist doch [mm] \in \IR [/mm] !
>
> Also diesen Bruch zu konjugieren ist ja das Gleiche wie 1/n
> zu konjugieren (das ist einfach wieder 1/n) und mit dem
> Konjugat von [mm]1/\lVert y_n\rVert[/mm] zu multiplizieren. Also
> reduziert sich die Frage eigentlich darauf, wie man
> [mm]1/\lVert y_n\rVert[/mm] konjugiert.
>
> Jedenfalls steht ich dann bei
>
> [mm]\frac{1}{n\cdot\lVert x_n\rVert}\cdot\lvert\frac{1}{n}\cdot\overline{\frac{1}{\lVert y_n\rVert}} T(x_n,y_n)\rvert[/mm].
>
>
> Edit:
>
> Achso, es ist doch [mm]\overline{\frac{1}{\lVert y_n\rVert}}=\frac{\lVert y_n\rVert}{\lvert\lVert y_n\rVert\rvert^2}=\frac{\Vert y_n\rVert}{\lvert\lVert y_n\rVert\rvert\cdot\lvert\lVert y_n\rVert\rvert}=\frac{\Vert y_n\rVert}{\lVert y_n\rVert\cdot\lVert y_n\rVert}=\frac{1}{\Vert y_n\rVert}[/mm]
Wie gesagt : [mm] \in \IR.
[/mm]
>
> Also habe ich raus:
>
> [mm]\lvert T(a_n,b_n)\rvert=\frac{\lvert T(x_n,y_n)\rvert}{n^2\Vert x_n\rVert\lVert y_n\rVert}>1[/mm]
> und damit ist die Stetigkeit verletzt.
Ja
>
>
> Noch eine Frage: Woher weiß ich, dass [mm]\Vert x_n\rVert[/mm] und
> [mm]\lVert y_n\rVert[/mm] ungleich 0 sind?
Wenn ein [mm] x_n=0 [/mm] wäre oder ein [mm] y_n, [/mm] so hätten wir, wegen
$ [mm] \lvert T(x_n,y_n)\rvert [/mm] > [mm] n^2 \lVert x_n\rVert\lVert y_n\rVert\ [/mm] $:
0>0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Fr 09.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Sorry, wenn ich da nochmal nachhaken muss, aber wieso ist denn [mm] $\frac{1}{n\lVert y_n\rVert}\in\mathbb{R}$? [/mm] Ich denke, H ist komplexer Hilbertraum?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Fr 09.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, wenn ich da nochmal nachhaken muss, aber wieso ist
> denn [mm]\frac{1}{n\lVert y_n\rVert}\in\mathbb{R}[/mm]? Ich denke, H
> ist komplexer Hilbertraum?!
n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] ||y_n|| \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Fr 09.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Hm, das verstehe ich nicht!
Also ich bringe da offenbar was durcheinander.
Es ist doch [mm] $\lVert y_n\rVert=\sqrt{\langle y_n,y_n\rangle}$ [/mm] und das hier auftretende Skalarprodukt bildet doch in die komplexen Zahlen ab, weil es sich um einen komplexen Hilbertraum habdelt?
Also will mir nicht einleuchten, wieso [mm] $\Vert y_n\rVert\in [0,\infty)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 09.11.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, mikexx!
Es gilt [mm] $\Vert y_n\rVert=\sqrt{\langle y_n,y_n\rangle}$ [/mm] und das hier auftretende Skalarprodukt bildet in der Tat ins Komplexe ab.
Aber trotzdem ist [mm] $\langle y_n,y_n\rangle$ [/mm] reell! Wieso? Wegen der Hermitizität des Skalarprodukts!
Außerdem weißt Du hier noch, dass [mm] $y_n\neq [/mm] 0$, also gilt [mm] $\langle y_n,y_n\rangle [/mm] >0$.
mfg,
dennis
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