Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{cos(xy^2)-1}{xy}, & \mbox{für } x \not= 0, y\not=0 \\ x & \mbox{für } x\not=0,y=0 \\ y &\mbox{für} x=0,y\not=0\\ 0 &\mbox{für} x=y=0\end{cases} [/mm] |
Hallo :)
also ich hab da eine Frage, wie ich die Stetigkeit zeige.
Für [mm] $x\not=0,y\not=0$ [/mm] ist es stetig da es eine Komposition stetiger Funktionen ist.
Für $x=y=0$ hab ich das so gemacht:
[mm] $x=r*cos(\alpha);y=r*sin(\alpha)$\\
[/mm]
[mm] \limes_{r \rightarrow 0} \bruch{cos(r*cos(\alpha)*r^2*sin(\alpha))-1}{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}=\bruch{cos(r^3*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)*sin(\alpha))}{r^2*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)}$\\
[/mm]
Ok dass dann einmal mit der Regel von L Hospital oben und unten Abgeleitet und dann etwas zusammengefasst und dann hab ich folgendes erhalten: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\limes_{r \rightarrow 0}3r*sin(\alpha)(-sin(r^3\bruch{1}{2}sin(2\alpha*sin(\alpha))=0$\\
[/mm]
Also ist f(x,y) im Punkt x=y=0 stetig.
[mm] \\
[/mm]
So nun aber zu [mm] $x\not=0,y=0$:\\
[/mm]
$sei [mm] x_0 \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ [/mm] fest.
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(x_0,y)=\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{cos(x_0y^2)-1}{x_0y}$
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
So und nun was jetzt? Mit L Hospital ableiten? dann komm ich aber insgesamt darauf dass der Limes gegen 0 läuft. Stimmt das? Dadurch wäre die Funktion nicht Stetig.??? :)
Danke für eure Hilfe und gibt mir vlt. erst mal einen kleinen Tipp damit ich es selber versuchen kann ;) Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:16 Mi 18.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HappyHaribo,
eine Anmerkung:
> Für [mm]x=y=0[/mm] hab ich das so gemacht:
> [mm]x=r*cos(\alpha);y=r*sin(\alpha)[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]\limes_{r \rightarrow 0} \bruch{cos(r*cos(\alpha)*r^2*sin(\alpha))-1}{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}=\bruch{cos(r^3*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)*sin(\alpha))}{r^2*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)}$\\[/mm]
>
> Ok dass dann einmal mit der Regel von L Hospital oben und
> unten Abgeleitet und dann etwas zusammengefasst und dann
> hab ich folgendes erhalten: [mm]\\[/mm]
> [mm]\limes_{r \rightarrow 0}3r*sin(\alpha)(-sin(r^3\bruch{1}{2}sin(2\alpha*sin(\alpha))=0[/mm][mm] \\[/mm]
Ich sehe nicht, wie man so Stetigkeit im Nullpunkt nachweisen kann.
Aus [mm] $g\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] mit
[mm] $\lim_{r\to0}g(r*\cos(\alpha),r*\sin(\alpha))=g(0,0)$
[/mm]
für alle [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] folgt jedenfalls noch lange nicht, dass $g$ im Nullpunkt stetig ist.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:00 Mi 18.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> Für [mm]x\not=0,y\not=0[/mm] ist es stetig da es eine Komposition
> stetiger Funktionen ist.
> Für [mm]x=y=0[/mm] hab ich das so gemacht:
> [mm]x=r*cos(\alpha);y=r*sin(\alpha)[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]\limes_{r \rightarrow 0} \bruch{cos(r*cos(\alpha)*r^2*sin(\alpha))-1}{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}=\bruch{cos(r^3*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)*sin(\alpha))}{r^2*\bruch{1}{2}sin(2\alpha)}$\\[/mm]
>
> Ok dass dann einmal mit der Regel von L Hospital oben und
> unten Abgeleitet und dann etwas zusammengefasst und dann
> hab ich folgendes erhalten: [mm]\\[/mm]
> [mm]\limes_{r \rightarrow 0}3r*sin(\alpha)(-sin(r^3\bruch{1}{2}sin(2\alpha*sin(\alpha))=0[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Also ist f(x,y) im Punkt x=y=0 stetig.
Wie in meiner Mitteilung bereits geschrieben: Die Stetigkeit in $(0,0)$ ist noch nicht nachgewiesen.
Tipps:
1. Für [mm] $x,y\not=0$ [/mm] mit [mm] $|y|\le1$ [/mm] gilt
[mm] $|f(x,y)|\le|f(x,y)|*\bruch1{|y|}=\left|\bruch{\cos(xy^2)-1}{xy^2}\right|$.
[/mm]
2. Zeige [mm] $\lim_{z\to0}\bruch{\cos(z)-1}{z}=0$.
[/mm]
Vergiss nicht, dass du für die Stetigkeit in $(0,0)$ auch $(x,y)$ mit $x=0$ oder $y=0$ betrachten musst.
> So nun aber zu [mm]x\not=0,y=0[/mm][mm] :\\[/mm]
> [mm]sei x_0 \in \mathbb{R}\backslash \{0\}[/mm]
> fest.
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(x_0,y)=\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{cos(x_0y^2)-1}{x_0y}$[/mm]
Beachte: Selbst wenn du [mm] $\lim_{y\rightarrow 0}f(x_0,y)=f(x_0,0)$ [/mm] zeigen könntest, hättest du noch nicht die Stetigkeit von $f$ in [mm] $(x_0,0)$ [/mm] gezeigt.
Aber Unstetigkeit von $f$ an der Stelle [mm] $(x_0,0)$ [/mm] kannst du so nachweisen.
> So und nun was jetzt? Mit L Hospital ableiten? dann komm
> ich aber insgesamt darauf dass der Limes gegen 0 läuft.
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Der Limes läuft natürlich nicht gegen 0, sondern er existiert und lautet 0.)
> Dadurch wäre die Funktion nicht Stetig.??? :)
Viele Grüße
Tobias
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