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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 04.03.2012 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende Funktion f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q} \in \IQ, p \in \IZ, q \in \IN \mbox{teilerfremd } \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \end{cases}
[/mm]
Untersuche, ob die Funktion bei x = 0 stetig ist. |
Hallo zusammen,
ich habe bei dieser Funktion alleine schon etwas Schwierigkeiten mit deren Definition.
Was mir nicht klar ist: Welchen Wert nimmt die Funktion bei x = 0 an ?
Ich kann 0 doch z.B. schreiben als [mm] \bruch{0}{2} [/mm] oder [mm] \bruch{0}{3}. [/mm]
Dann wäre f(0) einmal [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und einmal [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] was ja aber nicht logisch ist.
Oder ist dies so zu verstehen, dass x = 0 überhaupt nicht in f(x) eingesetzt werden darf (aber woran erkenne ich das ?).
Wie kann ich dann die Stetigkeit bei x = 0 prüfen ?
Ich weiß, dass man z.B. für alle Nullfolgen [mm] a_n [/mm] nachweisen müsste, dass [mm] f(a_n) [/mm] gegen einen gemeinsamen Grenzwert (nämlich den Funktionswert f(0)) streben, aber was ist dieser ?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Danke im voraus.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Rubi,
du hast recht, f ist in 0 nicht definiert.
So wie die Aufgabe gestellt ist, wurde der Fall aber nur im zweiten Teil der Funktion vergessen.
Korrekt lautet die Funktion also:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q} \in \IQ, p \in \IZ, q \in \IN \mbox{ teilerfremd } \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \vee x=0 \end{cases} [/mm] $
Kommst du nun voran?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 So 04.03.2012 | | Autor: | rubi |
Das hilft mir schon mal weiter, danke !
Allerdings weiß ich immer noch nicht, ob Stetigkeit bei x = 0 vorliegt.
Ich kann natürlich eine Folge nehmen wie [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] dann strebt auch [mm] f(a_n) [/mm] gegen 0.
Aber ich muss dies ja für alle Nullfolgen zeigen und ich weiß nicht, ob man hier nicht eine Nullfolge [mm] b_n [/mm] konstruieren könnte, bei der [mm] f(b_n) [/mm] nicht gegen Null konvergiert.
Bitte daher um weitere Hinweise, danke !
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das hilft mir schon mal weiter, danke !
> Allerdings weiß ich immer noch nicht, ob Stetigkeit bei x
> = 0 vorliegt.
> Ich kann natürlich eine Folge nehmen wie [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n},[/mm] dann strebt auch [mm]f(a_n)[/mm] gegen 0.
> Aber ich muss dies ja für alle Nullfolgen zeigen und ich
> weiß nicht, ob man hier nicht eine Nullfolge [mm]b_n[/mm]
> konstruieren könnte, bei der [mm]f(b_n)[/mm] nicht gegen Null
> konvergiert.
>
> Bitte daher um weitere Hinweise, danke !
interessant sind ja im Wesentlichen nur Nullfolgen [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n \in \IQ$ [/mm] - ist Dir das klar? Denn Nullfolgen rein irrationaler Zahlen sind trivial zu behandeln, und wenn wir "Nullfolgen mit gemischt rationalen und irrationalen Gliedern haben", wissen wir dann auch Bescheid, wenn wir uns mit den "Nullfolgen mit rationalen Gliedern" befasst haben.
O.E. betrachte also [mm] $x_n \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $x_n \to 0\,.$ [/mm] Sei $m [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig. Wegen [mm] $x_n \to [/mm] 0$ existiert ein [mm] $N=N_m \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|x_n| [/mm] < [mm] \frac{1}{m}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Schreibe nun für jedes $n [mm] \ge [/mm] N$ dann in eindeutig bestimmter Weise [mm] $x_n=p_n/q_n$ [/mm] mit [mm] $p_n \in \IZ, q_n \in \IN$ [/mm] und [mm] $p_n,q_n$ [/mm] teilerfremd. Warum muss dann [mm] $q_n \ge [/mm] m$ gelten? Was bringt das?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hallo Rubi,
>
> du hast recht, f ist in 0 nicht definiert.
> So wie die Aufgabe gestellt ist, wurde der Fall aber nur
> im zweiten Teil der Funktion vergessen.
> Korrekt lautet die Funktion also:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q} \in \IQ, p \in \IZ, q \in \IN \mbox{ teilerfremd } \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \vee x=0 \end{cases}[/mm]
streng genommen wäre dann [mm] $f\,$ [/mm] immer noch nicht korrekt definiert.
Besser:
[mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q} \in \IQ, p \in \IZ\red{\setminus \{0\}}, q \in \IN \mbox{ teilerfremd } \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \vee x=0 \end{cases}[/mm]
Oder habe ich da 'nen Denkfehler?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Oder habe ich da 'nen Denkfehler?
ja. Ich dachte auch erst, in 0 sei die Funktion nicht wohldefiniert.
Dass 0 aber ausgeschlossen ist, steckt in dem (eigentlich klaren) "teilerfremd".
Finde mal eine Darstellung von 0 der Form [mm] \bruch{p}{q} [/mm] wo q teilerfremd zu p ist 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > Oder habe ich da 'nen Denkfehler?
>
> ja. Ich dachte auch erst, in 0 sei die Funktion nicht
> wohldefiniert.
> Dass 0 aber ausgeschlossen ist, steckt in dem (eigentlich
> klaren) "teilerfremd".
ja, daran habe ich eben auch noch gedacht!
> Finde mal eine Darstellung von 0 der Form [mm]\bruch{p}{q}[/mm] wo q
> teilerfremd zu p ist
Ein [mm] $q\,$ [/mm] teilerfremd zu [mm] $p=0\,$ [/mm] ist natürlich schwer zu finden.
Da hast Du recht. Okay, aber ich finde es dann immer noch wenigstens didaktisch besser, dieses [mm] $\red{\IZ \setminus \{0\}}$ [/mm] mitzuerwähnen (was aber sicher auch ein wenig meine eigene Geschmackssache ist - andere machen's vll. extra nicht, damit sich der Aufgabenbearbeiter die Gedanken dazu macht, wie Du sie Dir gemacht hast ^^).
Grüße zurück,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Da hast Du recht. Okay, aber ich finde es dann immer noch
> wenigstens didaktisch besser, dieses [mm]\red{\IZ \setminus \{0\}}[/mm]
> mitzuerwähnen (was aber sicher auch ein wenig meine eigene
> Geschmackssache ist - andere machen's vll. extra nicht,
> damit sich der Aufgabenbearbeiter die Gedanken dazu macht,
> wie Du sie Dir gemacht hast ^^).
ich finde es didaktisch noch besser, wenn die Aufgabe wenigstens korrekt gestellt worden wäre, denn in der Ursprungsfassung lässt sich die Frage gar nicht beantworten
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
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> > Da hast Du recht. Okay, aber ich finde es dann immer noch
> > wenigstens didaktisch besser, dieses [mm]\red{\IZ \setminus \{0\}}[/mm]
> > mitzuerwähnen (was aber sicher auch ein wenig meine eigene
> > Geschmackssache ist - andere machen's vll. extra nicht,
> > damit sich der Aufgabenbearbeiter die Gedanken dazu macht,
> > wie Du sie Dir gemacht hast ^^).
>
> ich finde es didaktisch noch besser, wenn die Aufgabe
> wenigstens korrekt gestellt worden wäre,
das sowieso!
> denn in der
> Ursprungsfassung lässt sich die Frage gar nicht
> beantworten
doch: Es macht keinen Sinn, eine Funktion an einer Stelle auf Stetigkeit zu untersuchen, an der sie nicht definiert (oder wohldefiniert) ist
P.S.
Jetzt bin ich doch nochmal irritiert: Laut Wiki sind zwei natürliche Zahlen genau dann teilerfremd, wenn Sie beide nur den gemeinsamen Teiler 1 haben (so kenne ich das auch, aber damit ich da nichts übersehe, habe ich nochmal nachgeguckt). Dann wären ja Darstellungen
[mm] $$0=0/2=0/5\,$$
[/mm]
keine "teilerfremden" Darstellungen der [mm] $0\,,$ [/mm] und einzig
[mm] $$0=0/1\,$$
[/mm]
wäre sinnvoll. Demnach wäre dann in der Ursprungsfassung doch [mm] $f(0)=1\,,$ [/mm] da die Darstellung $0=0/1$ die einzige "teilerfremde" Darstellung $0=p/q$ der [mm] $0\,$ [/mm] ist mit $p [mm] \in \IZ$ [/mm] zund $q [mm] \in \IN$? [/mm] Ist zwar nur ein wenig "Detailsache", aber habe ich da doch noch 'nen Denkfehler? Vielleicht siehst Du den ja, dann macht's bei mir sicher gleich wieder "Klick"
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Di 06.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die folgende Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q} \in \IQ, p \in \IZ, q \in \IN \mbox{teilerfremd } \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \end{cases}[/mm]
>
> Untersuche, ob die Funktion bei x = 0 stetig ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe bei dieser Funktion alleine schon etwas
> Schwierigkeiten mit deren Definition.
> Was mir nicht klar ist: Welchen Wert nimmt die Funktion bei
> x = 0 an ?
> Ich kann 0 doch z.B. schreiben als [mm]\bruch{0}{2}[/mm] oder
> [mm]\bruch{0}{3}.[/mm]
> Dann wäre f(0) einmal [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und einmal
> [mm]\bruch{1}{3},[/mm] was ja aber nicht logisch ist.
> Oder ist dies so zu verstehen, dass x = 0 überhaupt nicht
> in f(x) eingesetzt werden darf (aber woran erkenne ich das
> ?).
auf die Gefahr hin, dass ich nun Unsinn erzähle:
Die einzig mögliche Darstellung [mm] $0=p/q\,$ [/mm] mit teilerfremden $p [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $0=0/1\,.$ [/mm] Denn in der Darstellung $0=0/n$ mit $n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] teilt neben der [mm] $1\,$ [/mm] doch die Zahl [mm] $n\,$ [/mm] sowohl sich selbst als auch die [mm] $0\,,$ [/mm] daher sind in der Darstellung $0=0/n$ rechterhand "der Zähler und der Nenner NICHT teilerfremd".
Bei der obigen Funktion wäre also [mm] $f(0)=1\,.$ [/mm] Und demnach wäre die Funktion unstetig in [mm] $x=0\,,$ [/mm] 'wobei man hier alleine mit einer Nullfolge rein irrationaler Zahlen argumentieren kann'.
Interessanter wäre dann die Frage, ob man "mit der Umdefinition $f(0):=0$" die "obige Funktion 'stetig machen würde': Das wäre zu bejahen, siehe etwa meine andere Antwort!"
Gruß,
Marcel
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