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Hallo,
kann mir vielleicht jemand helfen zu zeigen, dass die Funktion
[mm] f(x,y)=\bruch{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
im Nullpunkt stetig ist. Ich habe schon versucht Differenzierbarkeit zu zeigen oder das irgendwie abzuschätzen, ohne Erfolg. Vielen Dank für jede Hilfe.
Grüße mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 So 17.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Keine Ahnung, ob das funktioniert, aber hast du's schon mal mit der [mm] \epsilon-\delta [/mm] Stetigkeit versucht?
Viele Grüße
Bastiane
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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$ [mm] (x^2\cdot{}y)/(x^2+y^2) [/mm] $ ist glaube ich stetig im Nullpunkt.
Als erstes näherst Du dich der Funktion auf der x-Achse. D.h. y=0 x gegen Null. Dann erhält man $ [mm] 0/x^2 [/mm] $ = 0
Dann auf der y-Achse. D.h. x=0 y gegen Null. Dann erhält man $ [mm] 0/(y^2) [/mm] $
Als letztes auf der Winkelhalbierenden x=y. Dann erhält man
$ [mm] (x^3)/(2x^2) [/mm] $ = 0
Man kann zur Kontrolle auch Polarkoordinaten verwenden.
x = r*cos [mm] \alpha [/mm] Y=r*sin [mm] \alpha
[/mm]
Das ergibt $ [mm] (r^3cos^2 \alpha \cdot{} [/mm] sin [mm] \alpha) [/mm] $ / [mm] r^2(cos^2 \alpha [/mm] + [mm] sin^2 \alpha)
[/mm]
Wenn da dann den Nullpunkt einsetzt dann erhält man ebenfalls null.
Also würde ich sagen, dass der Grenzwert im Punkt (0,0) existiert und die Funktion stetig ist. Keine Garatie!!!!!!!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 So 17.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo chrisdus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Hier habe ich etwas Bedenken gegenüber Deiner Vorgehensweise, da nach dieser Methode auch bei der Funktion
[mm](x;y) \mapsto \begin{cases} \bruch{x^2*y}{2*x^4+3*y^2}, & \mbox{für } (x;y) \not=(0;0) \\ 0, & \mbox{für } (x;y)=(0;0) \end{cases} [/mm]
Stetigkeit im Ursprung vorliegen müsste.
Aber genau das wurde hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]) ja widerlegt.
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 So 17.07.2005 | | Autor: | chrisdus |
Also wenn Du Bedenken an meinem Rechenweg hast, den ich mit 3!!! Rechnungen Bewiesen hane dann beweise das Gegenteil und zeige das es für den Nullpunkt nicht gilt. Was deine andere Funktion angeht, kann ich nur sagen das es im [mm] \IR^n [/mm] schwierig ist Funktionen auf Stetigkeit zu untersuchen und keine einer andren gleicht.
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Also, ich habe das so versucht zu beweisen. Ich bin mir aber sziemlich unsicher dabei. Vielleicht könnt ihr das ja kommentieren.
Für Stetigkeit am Nullpunkt sollte ja gelten lim f(x,y)=f(0,0)=0 für (x,y)->(0,0).
Also kann man abschätzen:
[mm] |f(x,y)|=|\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}|
[/mm]
[mm] \le\bruch{max(|x|,|y|)^{3}}{max(|x|,|y|)^{2}}
[/mm]
[mm] =max(|x|,|y|)\to0 [/mm] für [mm] (x,y)\to(0,0)
[/mm]
Ich habe diese Abschätzung bei einer ähnlichen Funktion schon mal gesehen.
Vielleicht kann man das ja so machen??!! Bitte um Kommentare.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für Stetigkeit am Nullpunkt sollte ja gelten lim
> f(x,y)=f(0,0)=0 für (x,y)->(0,0).
Den Wert kann man ja leicht erraten - entweder der, oder keiner.
> Also kann man abschätzen:
> [mm]|f(x,y)|=|\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}|[/mm]
> [mm]\le\bruch{max(|x|,|y|)^{3}}{max(|x|,|y|)^{2}}[/mm]
> [mm]=max(|x|,|y|)\to0[/mm] für [mm](x,y)\to(0,0)[/mm]
Vielleicht kurz begründen, warum die Abschätzung im Nenner gilt. aber sonst: top!
> Vielleicht kann man das ja so machen??!! Bitte um
> Kommentare.
Genauso macht man das: man kontrolliert für alle Paare (x,y) die Nahe genug an Null sind die Eigenschaft - nicht nur für Winkelhalbierende und Achsnekreuze! (Das mit den Polarkoordinaten vom Vorposter geht - aber der Rest ist falsch, also Obacht.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 So 17.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also wenn Du Bedenken an meinem Rechenweg hast,
Das war blos die höfliche Ausdrucksweise für: dein Beweis ist falsch. (die Aussage ist zwar richtig, aber in der Mathematik will man Beweise.). Jedenfalls die ohne Polarkkordinaten ...
> den ich mit
> 3!!! Rechnungen Bewiesen hane dann beweise das Gegenteil
Das hat er sogar - er hat ein Beispiel angegeben, bei dem dein Beweis auf Stetigkeit führen würde, die Funktion es aber nicht ist. Es gibt härtere Beispiele, zB Königsberger, Ana II, 2.8 Aufgabe 17 - eine Funktion, die nicht stetig in 0 ist, bei der aber sämtliche Richtungsableitungen existieren und 0 sind! (und zwar eine [m]\IR^2\to \IR[/m].
Allerdings: dein Beweis mit Polarkoordinaten ist richtig, aber nur der! Das liegt aber daran, daß [m]||(x,y)||<\varepsilon\gdw r<\varepsilon[/m] (euklidische Norm, also [m]||(x,y)||=r[/m]  ). Und die Polarkoordinaten Abbildung ist im wesnetlichen ein Diffeo ist (mal abgesehen von der Frage des Winkels im Nullpunkt.), also geht das so durch: falls du ebend in einer Epsilon-Umgebung von der 0 bist, kannst du zu Polarkoordinaten gehen und die Funkltion vom Betrag her gegen r abschätzen. (Eigentlich eine ganz pfiffige Idee!).
> und zeige das es für den Nullpunkt nicht gilt.
Das ist hier schwer, weil diese Funktion ja stetig ist - deswegen ist dein Bewis noch lange nicht richtig. Aber der letzte ist es doch.
> Was deine
> andere Funktion angeht, kann ich nur sagen das es im [mm]\IR^n[/mm]
> schwierig ist Funktionen auf Stetigkeit zu untersuchen und
> keine einer andren gleicht.
Soso. Natürlich ist es schwer im Allgemeinen. Das Problem existiert im Zweifel aber auch schon bei Funktionen [m][mm] \IR\to \IR[[/mm] [m] (auch wenn es hier wirklich reicht, von links und rechts zu kommen.): die Berechnung eines Grenzwertes bzw. seine (Nicht)-Existenz zu zeigen kann trickreich sein. Deinen Trick kann man aber auch in höheren Dimensionen anwenden: dort gibt es dann Kugelokoordinaten, also könnte es da genauso gehen (aber natürlich keine Garantie).
SEcki
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