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| Aufgabe | Beantworten Sie die folgenden Fragen kurz ohne Beweis:
Sei f : K [mm] \to \IR [/mm] stetig, wobei K [mm] \subset \IR [/mm] kompakt ist. Welche der folgenden Aussagen treffen grundsätzlich auf f zu ?
1. f ist Lipschitzstetig
2. f ist gleichmäßig stetig
3. f ist differenzierbar
4. f ist beschränkt
5. f (K) ist kompakt
6. f nimmt Maximum und Minimum an
7. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |f [mm] (x)|=+\infty
[/mm]
8. [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] K [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] K: |x-y| < [mm] \delta [/mm] und |f(x)-f(y)| [mm] \ge \varepsilon. [/mm] |
Also ich lerne gerade für die Ana Nachklausur, weil ich die erste nicht bestanden habe.
Diese Aufgabe kam bei der ersten Klausur und ich habe diese Antworten gegeben.
1. Ja
2. Ja
3. Nein
4. Ja
5. Ja
6. Nein
7. Ja
8. Nein
Ist das so richtig ???
Könnt ihr mir auch sagen, ob das als antwort in einer Klausur reicht oder muss man da wenigstens noch einige Worte dazu schreiben?
Vielen Dank schon mal ;D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 17.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Also ich lerne gerade für die Ana Nachklausur, weil ich
> die erste nicht bestanden habe.
> Diese Aufgabe kam bei der ersten Klausur und ich habe
> diese Antworten gegeben.
>
> 1. Ja
Nein! Betrachte beispielsweise die Funktion $f(x) = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] auf dem Kompaktum [mm] $[0,1]\:$. $f\:$ [/mm] ist hier nicht L-stetig. Die Ableitung geht für $x [mm] \to [/mm] 0$ gegen unendlich.
> 2. Ja
Richtig. Jede auf einem Kompaktum stetige Funktion ist dort auch gleichmäßig stetig. (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit)
> 3. Nein
Richtig, betrachte beispielsweise $f(x)=|x|$ auf [mm] $[-1,1]\:$. [/mm] f ist in 0 nicht differenzierbar, aber stetig auf dem angegebenen Intervall.
> 4. Ja
Ja, jede auf einem Kompaktum stetige Funktion ist beschränkt. (Satz von der Beschränktheit)
> 5. Ja
Stimmt. (Satz von Weierstraß)
> 6. Nein
Doch, das stimmt. Du hast ja bereits harausgefunden, dass f beschränkt ist, es gibt also ein Supremum und ein Infimum des Bildbereichs von f. Da f auf einem Kompaktum definiert ist, werden Supremum und Infimum auch angenommen. (Satz vom Extremum)
> 7. Ja
Was ist n?
> 8. Nein
Genau. Wenn die Behauptung war wäre, wäre f ja im Punkt x unstetig. Das stimmt nach Voraussetzung aber nicht.
>
> Ist das so richtig ???
>
> Könnt ihr mir auch sagen, ob das als antwort in einer
> Klausur reicht oder muss man da wenigstens noch einige
> Worte dazu schreiben?
Musst schon begründen, warum Aussagen stimmen und falls sie nicht stimmen ein Gegenbeispiel angeben.
LG Lippel
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