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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:23 So 12.12.2010 | | Autor: | dar |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Menge aller Punkte, in denen
sie stetig sind.
f: [mm] R^{2} \to [/mm] R
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^{2} +y^{2})*cos(1/x*y), & \mbox{für } x*y \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x*y \mbox{ gleich 0} \end{cases} [/mm] |
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Hallo,
Ich bin wieder da und wieder mit der Stetigkeit.
Diesmal bitte ich Euch um eine Korrektur:
f ist auf D= [mm] \{ (x,y) \in R^{2}; x*y \not=0 \} [/mm] stetig, da [mm] (x^{2} +y^{2})*cos(1/x*y) [/mm] der Quotient stetiger Funktionen ist ( cos(1/x*y) ist als trigonom. Funktion stetig und [mm] x^{2} +y^{2} [/mm] sind Potenzfunktionen).
z.z., dass f auf [mm] \{ (x,y) \in R^{2}; x*y=0 \} [/mm] stetig ist. Sei [mm] (x_{k},y_{k}) [/mm] k [mm] \in [/mm] N eine Folge von Zaalenpaaren im [mm] R^{2}, [/mm] die gegen (0,y) oder (x,0) konvergiert (weil x*y bei entweder y oder x gleich 0 auch gleich 0 wird), also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_{k}=0 \limes_{k\rightarrow\infty}y_{k}=y
[/mm]
oder [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_{k}=x \limes_{k\rightarrow\infty}y_{k}=0
[/mm]
dann ist [mm] \lim_{(x_k,y_k) \to (0,y)}f(x_k,y_k) [/mm] = f(0,y) oder
[mm] \lim_{(x_k,y_k) \to (x,0)}f(x_k,y_k) [/mm] = f(x,0)
Die Abbildung [mm] f(x_{k},y_{k}) [/mm] ist stetig auf T= [mm] \{ (x,y) \in R^{2}; x*y=0 \}, [/mm] wenn sie in jedem Punkt (0,y) [mm] \in [/mm] T oder (x,0) [mm] \in [/mm] T stetig ist, also:
[mm] |f(x_{k},y_{k}) [/mm] - f(0,y)| = | [mm] (x^{2} +y^{2})*cos(1/x*y) [/mm] - 0| = [mm] |x^{2} +y^{2}|, [/mm] da cos(1/x*y) eine beschränkte Funktion ist.
aber [mm] |x^{2} +y^{2}|=0, [/mm] nur wenn x=y=0, also [mm] \lim_{(x_k,y_k) \to (0,0)}f(x_k,y_k) [/mm] = f(0,0)
also die Funktion ist auf T= [mm] \{ (x,y) \in R^{2}; x*y=0 \} [/mm] stetig, wenn x=y=0
Meine Fragen: soll ich 2 Fälle unterscheiden, da x*y=0 schon wenn eines davon 0 ist? Und ist es ok, wenn ich schreibe x=y=0 und in cos teile ich 1/x*y?
Danke vorab
Dar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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