Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \bruch{cos(x)*sin(y)}{x^2+y^4} [/mm] falls [mm] \not= [/mm] (0,0)
0 falls (0,0) |
Hallo! ich wollte die Stetigkeit bzgl der Stelle (0,0) betrachten aber irgendwie komm ich nicht weiter... Ich kenne das nur durch ne abschätzung --> stetigkeit oder ne folge finden die die stetigkeit widerlegt oder polarkoordinaten,
ich wollte hier eigentlich mit Polarkoordinaten vorgehen weil ich keine abschäötzung bzw folge gefunden habe:
[mm] \bruch{cos(x)*sin(y)}{x^2+y^4} [/mm]
= [mm] \bruch{cos(r*cos(\gamma))*sin(r*sin(\gamma))}{r^2*cos^2(\gamma)+r^4*sin^4(\gamma)}
[/mm]
aber jetzt komm ich nicht weiter, bin bisschen irritiert durch das ^4 und auch durch den zähler?
könnt ihr mir helfen??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Fr 02.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\bruch{cos(x)*sin(y)}{x^2+y^4}[/mm] falls [mm]\not=[/mm] (0,0)
> 0 falls (0,0)
> Hallo! ich wollte die Stetigkeit bzgl der Stelle (0,0)
> betrachten aber irgendwie komm ich nicht weiter... Ich
> kenne das nur durch ne abschätzung --> stetigkeit oder ne
> folge finden die die stetigkeit widerlegt oder
> polarkoordinaten,
> ich wollte hier eigentlich mit Polarkoordinaten vorgehen
> weil ich keine abschäötzung bzw folge gefunden habe:
>
> [mm]\bruch{cos(x)*sin(y)}{x^2+y^4}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{cos(r*cos(\gamma))*sin(r*sin(\gamma))}{r^2*cos^2(\gamma)+r^4*sin^4(\gamma)}[/mm]
>
> aber jetzt komm ich nicht weiter, bin bisschen irritiert
> durch das ^4 und auch durch den zähler?
Das könntest du im Prinzip so machen, aber es ist unnötig umständlich.
Ich würde es über die Folgenstetigkeit machen: Wenn die Funktion $f(x,y)$ im Punkt $(0,0)$ stetig ist, so gilt für jede Folge [mm] $(x_n,y_n)$, [/mm] dass der Grenzwert
[mm] \lim_{n\to\infty} f(x_n,y_n) \stackrel{!}{=} f(0,0)=0 [/mm]
sein soll.
Nimm dir also ein paar Folgen und prüfe es nach. Tipp: Fang mit den Folgen
[mm] (x_0,y_n) [/mm] [mm] ($x_n$ [/mm] aus lauter konstanten Gliedern)
[mm] (x_n,y_0) [/mm] [mm] ($y_n$ [/mm] aus lauter konstanten Gliedern)
[mm] (x_n,x_n) [/mm] [mm] ($x_n=y_n$ [/mm] für alle $n$)
an!
Viele Grüße
Rainer
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hallo.. danke schonmal.. also ich hatte mir das auch schon überlegt und dann hab ich gewählt: [mm] (\bruch{1}{n^2}, \bruch{1}{n})
[/mm]
aber dann hab ich:
[mm] \bruch{cos(\bruch{1}{n^2})\cdot{}sin(\bruch{1}{n})}{\bruch{2}{n^4}}
[/mm]
so jetzt fällt mir nur noch ein dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sin(1/n) [/mm] = 0 und der Zähler also gegen 0 läuft aber weiter weiß ich nicht, das bringt ja jetzt auch nicht wirklich viel oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Fr 02.04.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> hallo.. danke schonmal.. also ich hatte mir das auch schon
> überlegt und dann hab ich gewählt: [mm](\bruch{1}{n^2}, \bruch{1}{n})[/mm]
>
> aber dann hab ich:
>
> [mm]\bruch{cos(\bruch{1}{n^2})\cdot{}sin(\bruch{1}{n})}{\bruch{2}{n^4}}[/mm]
> so jetzt fällt mir nur noch ein dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sin(1/n)[/mm] = 0 und der Zähler
> also gegen 0 läuft aber weiter weiß ich nicht, das bringt
> ja jetzt auch nicht wirklich viel oder?
Nein, das hilft dir wirklich nicht weiter (zumindest nicht ohne größeren Aufwand), zumal auch der Nenner gegen 0 läuft.
Geh mal auf Rainers Tipp ein und wähl die Folgen wie von ihm vorgeschlagen. Da ergibt sich vieles.
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ja sry aber ich versteh rainers tip auch nicht ganz, wie soll ich denn eine Nullfolge mit konstanten gliedern konstruieren? könnt ihr mir sagen was ihr für folgen meint, dann komm ich bestimmt auf den rest, hoff ich :)
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 02.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja sry aber ich versteh rainers tip auch nicht ganz, wie
> soll ich denn eine Nullfolge mit konstanten gliedern
> konstruieren?
0 0 0 0 0 0 0
Also probier's mal mit $(0,1/n)$ und $(1/n,0)$.
Viele Grüße
Rainer
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OKAY... also:
wenn ich jetzt (0,1/n) nehme ja?
dann komm ich auf:
[mm] \bruch{cos(0)\cdot{}sin(1/n)}{1/n^4} [/mm] = [mm] n^4*sin(1/n)
[/mm]
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^4*sin(1/n) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
"(weil polynome schneller steigen als sin fällt)"
also NICHT STETIG
richtig?
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