Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
a) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit FRAC(x)+FRAC(-x)
b) g: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{1}{2}(signx [/mm] +1). Dabei ist
sign [mm] x=\begin{cases} 1, & \mbox{x>0} \\ 0, & \mbox{x=0 }\\ -1, & \mbox{x<0} \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe und würde mir gerne erst einmal die a) bei Derive eintragen, um zu sehen, was da los ist.
Haben jetzt erst mit Stetigkeit angefangen und bisher nur eine einzige Definition dazu gehabt.
Daher weiß ich hier garnicht, wie ich anfangen soll.
Hier die Definition, die wir hatten:
Sei f: D [mm] \to \IR [/mm] eine reelle Funktion auf einem Definitionsbereich D [mm] \subseteq \IR.
[/mm]
Falls für jede konvergente Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a:=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] und [mm] a,a_n\in [/mm] D für alle [mm] n\in\IN, [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(a)
[/mm]
und die Funktion f heißt stetig an der Stelle a. f heißt stetig, falls f stetig an jeder Stelle [mm] a\in [/mm] D ist.
Ich finde die Definition etwas verwirrend.
Ich versuche die mal in meine Worte zu fassen:
Ich habe eine konvergente Folge die gegen a konvergiert (zB [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist Nullfolge) und betrachte davon die Funktion (wie kann ich mir das vorstellen?was heißt das). Diese Funktion der Folge heißt dann an diesem Grenzwert der Folge stetig.
Heißt das, dass a der Grenzwert der Folge ist und a die Stelle ist, an der die Funktion f stetig ist?
Was bedeutet das für meinen Graphen wenn ich sage, f ist an dieser Stelle a stetig?
Ich kenne nur dieses typische, "mit dem Stift nicht absetzen" Erklärung, die mich hier nicht weiterbringt.
Vielleicht kann mir jemand bei der Definition helfen und kennt sich mit Derive aus. Finde die Eingabe für die FRAC Funktion nicht.
Wir hatten aber mal aufgeschrieben, dass
FRAC(x)= x - [x] ist. Und wenn ich das richtig verstehe, bedeutet [x], dass auf die nächst kleinere ganze Zahl gerundet wird : [mm] [\wurzel{2}]=1
[/mm]
lG, Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
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> a) f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit FRAC(x)+FRAC(-x)
> b) g: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) = [mm]\bruch{1}{2}(signx[/mm] +1). Dabei
> ist
>
>
> sign [mm]x=\begin{cases} 1, & \mbox{x>0} \\ 0, & \mbox{x=0 }\\ -1, & \mbox{x<0} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe und würde mir gerne erst einmal die
> a) bei Derive eintragen, um zu sehen, was da los ist.
>
> Haben jetzt erst mit Stetigkeit angefangen und bisher nur
> eine einzige Definition dazu gehabt.
> Daher weiß ich hier garnicht, wie ich anfangen soll.
>
> Hier die Definition, die wir hatten:
>
> Sei f: D [mm]\to \IR[/mm] eine reelle Funktion auf einem
> Definitionsbereich D [mm]\subseteq \IR.[/mm]
> Falls für jede
> konvergente Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a:=\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] und [mm]a,a_n\in[/mm] D für alle
> [mm]n\in\IN,[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(a)[/mm]
> und die Funktion f heißt stetig an der Stelle a. f heißt
> stetig, falls f stetig an jeder Stelle [mm]a\in[/mm] D ist.
>
> Ich finde die Definition etwas verwirrend.
> Ich versuche die mal in meine Worte zu fassen:
>
> Ich habe eine konvergente Folge die gegen a konvergiert (zB
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist Nullfolge) und betrachte davon die
> Funktion (wie kann ich mir das vorstellen?was heißt das).
> Diese Funktion der Folge heißt dann an diesem Grenzwert
> der Folge stetig.
> Heißt das, dass a der Grenzwert der Folge ist und a die
> Stelle ist, an der die Funktion f stetig ist?
Ich versuchs mal so zu erklären:
Nimm eine Folge [mm] (a_n) [/mm] aus dem Definitonsbereich von f mit der Eigenschaft [mm] a_n \to [/mm] a.
Jedes [mm] a_n [/mm] kannst Du in f einsetzen. So erhälst Du eine Neue Folge, die Folge [mm] (f(a_n))
[/mm]
Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten: entweder [mm] (f(a_n)) [/mm] konvergiert gegen f(a) oder [mm] (f(a_n)) [/mm] tut das nicht
Wenn nun [mm] (f(a_n)) [/mm] für jede solche Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen f(a) konvergiert, so heißt f in a stetig.
>
> Was bedeutet das für meinen Graphen wenn ich sage, f ist
> an dieser Stelle a stetig?
>
> Ich kenne nur dieses typische, "mit dem Stift nicht
> absetzen" Erklärung, die mich hier nicht weiterbringt.
Für die Anschauung ist obiges gar nicht so schlecht
>
> Vielleicht kann mir jemand bei der Definition helfen und
> kennt sich mit Derive aus. Finde die Eingabe für die FRAC
> Funktion nicht.
Da kenne ich mich nicht aus
>
> Wir hatten aber mal aufgeschrieben, dass
> FRAC(x)= x - [x] ist. Und wenn ich das richtig verstehe,
> bedeutet [x], dass auf die nächst kleinere ganze Zahl
> gerundet wird : [mm][\wurzel{2}]=1[/mm]
Richtig
FRED
>
> lG, Ferolei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich glaube, ich brauche mal ein konkretes Beispiel.
Wir sagten, dass die Betragsfunktion f(x)= |x| für [mm] x\not=0 [/mm] und f(x)=0 für x=0 stetig ist.
Das sieht man zwar (weil der Stift nicht abgesetzt wird), aber was ist denn dann mein a? Was hat das mit dem Grenzwert der Folge zu tun ?
Was genau ist gemeint mit
> Wenn nun [mm](f(a_n))[/mm] für jede solche Folge [mm](a_n)[/mm] gegen f(a)
> konvergiert, so heißt f in a stetig.
>
Dieses, für jede solcher Folgen? Ich Betrachte doch hier nur eine ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo,
ich habe jetzt für Aufgabe a) raus, dass die Funktion an allen Stellen
[mm] x_0 \in [/mm] {...,-2,-1,0,1,2,...} unstetig ist.
Reicht es, die Unstetigkeit für eine Stelle zu zeigen ?
Habe es so gemacht:
Behaupt.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)\not= [/mm] f(a)
Beweis: Sei [mm] a_n= \bruch{1}{n}
[/mm]
Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n})= [\bruch{1}{n}]-[-\bruch{1}{n}]=1
[/mm]
Da aber f(0)=0 ist die Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] unstetig.
Bei b) habe ich nur die Stelle [mm] x_0=0 [/mm] für g unstetig raus.
Ich habe das so aufgeschrieben:
[mm] \limes_{x\to 0^+} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\to 0^+} [\bruch{1}{2}(sign [/mm] x + 1)]=1
[mm] \limes_{x\to 0^-} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\to 0^-} [\bruch{1}{2}(sign [/mm] x + 1)]= 0
[mm] \limes_{x\to 0} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\to 0} [\bruch{1}{2}(sign [/mm] x + 1)]=0
Aber g(0)=0. Daher ist g an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] unstetig.
Kann ich das so aufschreiben? Ist die Schreibweise mit lim korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
> Bei b) habe ich nur die Stelle [mm]x_0=0[/mm] für g unstetig raus.
>
> Ich habe das so aufgeschrieben:
>
> [mm]\limes_{x\to 0^+}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\to 0^+} [\bruch{1}{2}(sign[/mm]
> x + 1)]=1
>
> [mm]\limes_{x\to 0^-}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\to 0^-} [\bruch{1}{2}(sign[/mm]
> x + 1)]= 0
>
> [mm]\limes_{x\to 0}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\to 0} [\bruch{1}{2}(sign[/mm] x
> + 1)]=0
>
> Aber g(0)=0. Daher ist g an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] unstetig.
>
> Kann ich das so aufschreiben? Ist die Schreibweise mit lim
> korrekt?
Ja ist okay und richtig so.
Gruß
Denny
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Hallo Ferolei,
> Hallo,
>
> ich habe jetzt für Aufgabe a) raus, dass die Funktion an
> allen Stellen
> [mm]x_0 \in[/mm] {...,-2,-1,0,1,2,...} unstetig ist.
> Reicht es, die Unstetigkeit für eine Stelle zu zeigen ?
Wenn es so wie in der Aufgabe geschrieben ist, an sich ja. Da steht "prüfen Sie die Funktionen auf Stetigkeit". Das bedeutet also "Stetigkeit auf ihrem Definitionsbereich". Das ist nicht erfüllt, sobald ein Punkt aus dem Definitionsbereich nicht mehr die Eigenschaft der Stetigkeit besitzt.
> Habe es so gemacht:
>
> Behaupt.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)\not=[/mm] f(a)
Schreibe keine "Behauptung" und keinen "Beweis" hin. Das sieht seltsam aus.
Schreibe einfach: f ist in [mm] $x_{0} [/mm] = 0$ unstetig, denn wähle die Folge ...
> Beweis: Sei [mm]a_n= \bruch{1}{n}[/mm]
Hier solltest du noch kurz hinschreiben: [mm] $\lim_{n\to\infty}a_{n}=x_{0} [/mm] = 0$.
> Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n})= [\bruch{1}{n}]-[-\bruch{1}{n}]=1[/mm]
Auch hier zur Verständlichkeit zwei Zwischenschritte mehr (ist aber an sich okay):
Dann ist für n > 1 (Denn für n = 1 ist das eig. nicht so):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f\left(\bruch{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{1}{n}\right]-\left[-\bruch{1}{n}\right]= \limes_{n\rightarrow\infty}(0 [/mm] - (-1)) = [mm] 1\not= [/mm] 0 = f(0) = [mm] f(x_{0})$,
[/mm]
Widerspruch zur Stetigkeitsdefinition in [mm] $x_{0} [/mm] = 0$.
> Bei b) habe ich nur die Stelle [mm]x_0=0[/mm] für g unstetig raus.
>
> Ich habe das so aufgeschrieben:
>
> [mm]\limes_{x\to 0^+}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\to 0^+} [\bruch{1}{2}(sign[/mm]
> x + 1)]=1
>
> [mm]\limes_{x\to 0^-}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\to 0^-} [\bruch{1}{2}(sign[/mm]
> x + 1)]= 0
>
> [mm]\limes_{x\to 0}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\to 0} [\bruch{1}{2}(sign[/mm] x
> + 1)]=0
>
> Aber g(0)=0. Daher ist g an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] unstetig.
>
> Kann ich das so aufschreiben? Ist die Schreibweise mit lim
> korrekt?
Wie schon Denny gesagt hat, ist das an und für sich korrekt. Wenn ihr schon links- und rechtsseitige Limiten in der Vorlesung hattet, etc.
Ansonsten entspricht ein rechtsseitiger Limes gegen [mm] x_{0} [/mm] eigentlich der Betrachtung zum Beispiel der Folge [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] + [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] analog für linksseitigen Limes.
Das ist in der Hinsicht besser, weil das elementarer auf die Stetigkeitsdefinition zurückgeht.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo,
danke erst mal für eure Antwort.
Wir hatten die Def. für linksseitige bzw. rechtssetige Stetigkeit nicht. Nur die, die ich am Anfang mal hingeschrieben hatte.
Hatte aber glaube ich in der b) einen kleinen Fehler.
Müsste g(0) nicht sogar = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein ?
Da steht doch [mm] \bruch{1}{2}(sign [/mm] 0 +1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (0+1) = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] oder?
Dann stimmt ja kein einziger Grenwert mit dem y-Wert von g(0) überein.
lG, Ferolei
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Hallo Ferolei,
> Müsste g(0) nicht sogar = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein ?
> Da steht doch [mm]\bruch{1}{2}(sign[/mm] 0 +1) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (0+1)
> = [mm]\bruch{1}{2},[/mm] oder?
>
> Dann stimmt ja kein einziger Grenwert mit dem y-Wert von
> g(0) überein.
Ja, das ist richtig. So sollte es auch sein.
Wie gesagt, du kannst auch schreiben:
Betrachte [mm] $x_{0} [/mm] = 0$. Wähle [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] > 0$. Dann ist [mm] $a_{n}\to [/mm] 0 [mm] =x_{0}$ (n\to\infty), [/mm] aber
[mm] $f(a_{n}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*\left(sign(a_{n}) +1\right) [/mm] = 1 [mm] \not= \frac{1}{2} [/mm] = f(0) = [mm] f(x_{0})$,
[/mm]
also ist f in [mm] x_{0} [/mm] nicht stetig.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 13.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo Stefan,
das sieht formal natürlich etwas netter aus !
Danke und lG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Ich glaube, ich brauche mal ein konkretes Beispiel.
>
> Wir sagten, dass die Betragsfunktion f(x)= |x| für [mm]x\not=0[/mm]
> und f(x)=0 für x=0 stetig ist.
Richtig
> Das sieht man zwar (weil der Stift nicht abgesetzt wird),
> aber was ist denn dann mein a? Was hat das mit dem
> Grenzwert der Folge zu tun ?
> Was genau ist gemeint mit
>
> > Wenn nun [mm](f(a_n))[/mm] für jede solche Folge [mm](a_n)[/mm] gegen f(a)
> > konvergiert, so heißt f in a stetig.
Machen wir das ganze mal für eine bestimmte Folge: Betrachte [mm] $a_n:=\frac{1}{n}+1$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$. [/mm] Diese Folge konvergiert gegen $1$, d.h.
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+1=1$
[/mm]
und damit $a=1$. Wir untersuchen jetzt die Folge [mm] $f(a_n)$ [/mm] hinsichtlich ihrer Konvergenz, wobei $f(x)=|x|$ ist. Wegen (1): [mm] $\frac{1}{n}+1>0$ [/mm] (für jedes [mm] $n\in\IN$) [/mm] und (2): $f(a)=f(1)=|1|=1$ gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(a_n)=\lim_{n\to\infty}|a_n|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n}+1\right|\overset{(1)}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+1=1\overset{(2)}{=}f(a)$
[/mm]
ACHTUNG: Für die Stetigkeit MUSS die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] beliebig sein! Wir haben bislang aber ausschließlich eine feste Folge betrachtet, nämlich [mm] $a_n=\frac{1}{n}+1$, [/mm] und damit KEINE Stetigkeit in $a=1$ gezeigt. Nun allgemeiner (und Stetigkeit in $a=1$):
Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine beliebige Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass sie gegen ein $a=1$ konvergiert, d.h. [mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=1$. [/mm] Wähle nun $N$ derart (d.h. so groß), dass [mm] $a_n>0$ [/mm] für alle $n>N$ [mm] ($n\in\IN$). [/mm] Dann erhalten wir
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(a_n)=\lim_{n\to\infty}|a_n|\overset{n>N}{=}\lim_{n\to\infty}a_n=a=1=f(1)$
[/mm]
Damit ist $f(x)=|x|$ stetig in $a=1$. Um diesen Prozess jedoch nicht für unendlich viele Punkte machen zu müssen, unterscheidet man in diesem Beispiel generell die folgenden Fälle
1. Fall: $a>0$
2. Fall: $a=0$
3. Fall: $a<0$
>
> Dieses, für jede solcher Folgen? Ich Betrachte doch hier
> nur eine ?
Ich hoffe, dass meine Erklärung zu der Beantwortung dieser Frage beigetragen hat.
Besten Gruß
Denny
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