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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Do 10.12.2009 | | Autor: | phyma |
| Aufgabe | Es sei $f:D [mm] \to \IR$, x\mapsto\begin{cases} x+n, & \mbox{für } x < -n \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\x-n,& \mbox{für } x>n\end{cases} [/mm] eine Funktion.
Zeige, dass die Funktion für $n=1$, $n=0,5$ und [mm] $n=\pi$ [/mm] in $x=0$ stetig ist. |
Hallo,
ich habe mir überlegt, dass es wohl am sinnvollsten sein wird, die Stetigkeit in $x=0$ mit dem [mm] $\varepsilon$\$\delta$-Kriterium [/mm] zu beweisen.
Zuerst habe ich mir einmal n=1 vorgenommen. (Der Beweis für die drei gegebenen $n$ dürfte ja immer analog ablaufen, oder?)
Ich habe jetzt nur an zwei Stellen ein Problem:
[mm] $\forall \varepsilon>0$ [/mm] gilt:
[mm] $0<|x-0|=|x|<\delta:=\varepsilon-1$ [/mm] (Problem: Gilt nicht mehr für alle [mm] $\varepsilon$... [/mm] oder?)
Daraus folgt:
Für $|x|>1$:
[mm] $|f(x)-f(0)|=|\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x < -1 \\ x-1,& \mbox{für } x>1\end{cases}| [/mm] = |x|+|1| [mm] <\delta [/mm] + 1 = [mm] \varepsilon$
[/mm]
Für $x=0$:
Direkt: [mm] $0<\varepsilon$. [/mm] (Stimmt das?)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Stetigkeit in $x=0$.
Wie kann ich das besser machen?
Vielen Dank schon jetzt!
PS: Das ganze könnte man doch auch allgemein zeigen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:25 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie ist denn f für x [mm] \in [/mm] [-n,n] (x [mm] \not=0) [/mm] definiert ? Hast Du f korrekt wiedergegeben ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Do 10.12.2009 | | Autor: | phyma |
Dort ist f nicht definiert... (sonst wäre es wohl einfacher...) Sonst ginge es ja mit der Folgenstetigkeit auch ganz gut, aber durch die Definitionslücke(n)...?!
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Dort ist f nicht definiert... (sonst wäre es wohl
> einfacher...) Sonst ginge es ja mit der Folgenstetigkeit
> auch ganz gut, aber durch die Definitionslücke(n)...?!
Nee, so ist es einfacher ! Nimm eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in D mit [mm] x_n \to [/mm] 0. Dann ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] x_n [/mm] = 0 für n [mm] \ge [/mm] m. somit: [mm] f(x_n) [/mm] = 0 für n [mm] \ge [/mm] m
Fazit: [mm] f(x_n) \to [/mm] 0 =f(0)
FRED
>
> Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 10.12.2009 | | Autor: | phyma |
Mmh... Ok... Doch wohl so einfach... Ich dachte, wegen der Definitionslücke ginge das so nicht, aber irgendwie ist es schon logisch! Danke!!
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> Es sei [mm]f:D \to \IR[/mm], [mm]x\mapsto\begin{cases} x+n, & \mbox{für } x < -n \\ 0, & \mbox{für } x=0 \\x-n,& \mbox{für } x>n\end{cases}[/mm]
> eine Funktion.
> Zeige, dass die Funktion für [mm]n=1[/mm], [mm]n=0,5[/mm] und [mm]n=\pi[/mm] in [mm]x=0[/mm]
> stetig ist.
> Hallo,
> ich habe mir überlegt, dass es wohl am sinnvollsten sein
> wird, die Stetigkeit in [mm]x=0[/mm] mit dem
> [mm]\varepsilon[/mm]\[mm]\delta[/mm]-Kriterium zu beweisen.
> Zuerst habe ich mir einmal n=1 vorgenommen. (Der Beweis
> für die drei gegebenen [mm]n[/mm] dürfte ja immer analog ablaufen,
> oder?)
Hallo,
ja, und deshalb wundert es mich, daß Ihr das für drei so ähnliche Fälle zeigen sollt.
Mich würde mal interessieren, wie die Aufgabe komplett lautet, also mit Vorspiel (!) und allen Teilaufgaben. Oder ist das alles?
Du sollst das sicher für alle [mm] n\in \IR [/mm] untersuchen, oder? Auch für n=0 und negative, richtig?
So, was ich eigentlich sagen wollte:
Du wolltest ja zuerst das [mm] \varespsilon-\delta-Kriterium [/mm] verwenden. Das ist für n>0 sehr einfach.
Wähle zu beliebigem [mm] \varepsilon>0 \delta:= \bruch{n}{2} [/mm] .
Wenn Du nun alle x des Definitionsbereiches betrachtest, die von 0 nicht weiter als [mm] \delta [/mm] entfernt sind, dann stellst Du fest, daß es nur ein einzigens solches x gibt, nämlich x=0,
und [mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon [/mm] ist schnell gezeigt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Do 10.12.2009 | | Autor: | phyma |
Hallo Angela,
ja, für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] soll es dann schließlich im Teil (b) gezeigt werden. Das würde ich einfach dann per Induktion machen...
Dankeschön.
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