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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 25.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: f(x+y)=f(x)f(y) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] .Des weiteren sei f(1)>0 und f in mindestens einem Punkt stetig.
1) Beweisen Sie: f ist stetig auf [mm] \IR [/mm] , f(0)=1 und f(x)>0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] .
2) Wie hängt f mit der Exponentialfunktion zusammen? Beweisen Sie ihre Behauptung |
Hallo,
hab mal wieder starke Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
Also zu 1) Ich weiß leider nicht, wie ich ohne eine konkrete Funktionsvorschrift das Epsilon-Delta-Kriterium anwenden könnte und damit zeigen kann, dass es stetig ist. Was mir auffällt ist: f(x+y)=f(x)f(y) schaut sehr stark nach nem Morphismus aus, was ich jedoch hier in der Analysis nicht verwenden darf, da ich es nur aus der Algebra kenne. Jedoch ist eine Eigenschaft des Morphismus ja, dass das neutrale Element auch aufs neutrale Element abgebildet wird, in diesem Fall ist die 0 neutrales Element der Addition und die 1 neutrales Element der Multiplikation. Ich weiß einfach nicht, wie ich hier ansetzen könnte.
Zu 2) Es ist auf jeden Fall möglich, dass f(x)= [mm] e^{x} [/mm] wäre, denn dann würde gelten: [mm] e^{x+y}= e^{x}e^{y} [/mm] , außerdem ist f(1)=e >0 und f ist stetig, aber genauso gut erfüllt f(x)=1 die vorgegebenen Eigenschaften, von daher weiß ich nicht, wie diese Aufgabenstellung konkret gemeint ist.
Ich hoffe jemand von euch könnte mir einen Denkanstoß geben, wäre um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 25.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> hab mal wieder starke Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
> Also zu 1) Ich weiß leider nicht, wie ich ohne eine
> konkrete Funktionsvorschrift das Epsilon-Delta-Kriterium
> anwenden könnte und damit zeigen kann, dass es stetig ist.
Ich würde es mit Folgenstetigkeit machen. Sei y die Stelle, an der f stetig ist. Nehme ein beliebiges x mit [m]x_n\to x[/m], dann ist [m]x_n+(y-x)\to y[/m], also [m]\lim f(x_n)*f(y-x)=f(y)[/m]. Weiterhin ist [m]f(x)=f(x/2+x/2)=f^2(x/2)[/m].
> Zu 2) Es ist auf jeden Fall möglich, dass f(x)= [mm]e^{x}[/mm]
> wäre, denn dann würde gelten: [mm]e^{x+y}= e^{x}e^{y}[/mm] ,
> außerdem ist f(1)=e >0 und f ist stetig, aber genauso gut
> erfüllt f(x)=1 die vorgegebenen Eigenschaften, von daher
> weiß ich nicht, wie diese Aufgabenstellung konkret gemeint
> ist.
Und was wäre mit [m]f(1)=10[/m]? Kennst du eine Reihe von Funktionen, die obige Gleichung erfüllen und sonst nur von [m]f(1)[/m] abhängen? Folgere dann Gleichheit aus Stetigkeit.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 25.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke für die schnelle Antwort, jedoch hatten wir Folgenstetigkeit noch überhaupt nicht, und um ehrlich zu sein, kann ich mit diesem Ansatz leider gar nix anfangen.
Zu 2) Ah okay, du meinst Funktionen der Art f(x)= [mm] a^{x} [/mm] , wobei a [mm] \in \IR_{+} [/mm] und a [mm] \not= [/mm] 0 und dann wäre f(x)= [mm] e^{x*ln(a)}. [/mm] Aber was du mit Gleichheit folgern aus Stetigkeit meinst, ist mir leider völlig unklar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 25.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die schnelle Antwort, jedoch hatten wir
> Folgenstetigkeit noch überhaupt nicht, und um ehrlich zu
> sein, kann ich mit diesem Ansatz leider gar nix anfangen.
Naja, die Idee ist: man schiebt mittels der Funktionalgleichung die Stetigkeit von einem Punkt y auf jedem beliebigen Punkt x.
> Zu 2) Ah okay, du meinst Funktionen der Art f(x)= [mm]a^{x}[/mm] ,
> wobei a [mm]\in \IR_{+}[/mm] und a [mm]\not=[/mm] 0 und dann wäre f(x)=
> [mm]e^{x*ln(a)}.[/mm] Aber was du mit Gleichheit folgern aus
> Stetigkeit meinst, ist mir leider völlig unklar?
Es gilt zB [m]f(n)=f(1)^n[/m], also ist f auf [m]\IQ[/m] gleich [m]x\mapsto f(1)^x[/m], der Rest dann mit Stetigkeit.
SEcki
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