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Gegeben f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } \mbox{ Bedingung 1} \\ 1-x, & \mbox{für } \mbox{Bedingung 2} \end{cases}
[/mm]
Bedingung 1: [mm] x\in \IQ
[/mm]
Bedingung 2: [mm] x\in \IR\\IQ
[/mm]
Zu Beweisen ist
a)f ist nur im punkt x=0.5 stetig;
b)f ist bijrktiv.
Helft bitte, hab überhaupt keine Ahnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Di 05.04.2005 | | Autor: | Hensing |
hi!
Stell Dir die Gleichung vor:
x für rationales x ist einfach eine Gerade durch den Nullpunkt
1 -x für irat. x ist eine Gerade, die durch (0,1) und (1,0) geht.
Beide schneiden sich in x = 0,5
wenn Du nun mit Folgenstetigkeit argumentierst:
(aus [mm] x_n \to [/mm] x [mm] \Rightarrow f(x_n) \to [/mm] f(x))
kannst Du zeigen, daß du Dich nur x=0,5 von beiden Seiten nähern kannst ohne die Stetigkeit zu verletzen.
Mußt halt ne rationale Folge gegen x=0,5 streben lassen und eine irrat gegen x=0,5. An anderen Stellen geht das nicht, da sonst z.B. Pi rational wäre!
2.) bijektiv: injektiv ist ja kein Problem, da die beiden Geraden den Bildraum nur max 1x treffen.
surjektiv weiß ich jetzt momentan nicht ...
Hoffe, daß ich Dir damit helfen konnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nun ja, dann wollen wir mal schauen, ob wir das auch formal bewiesen bekommen.
1) Sei [mm] $x_0 \in \IQ$ [/mm] und [mm] $x_0 \ne [/mm] 0.5$.
Weiterhin sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x_n \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} (1-x_n) [/mm] = [mm] 1-x_0 \ne x_0 [/mm] = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
2) Sei [mm] $x_0 \in \IR \setminus \IQ$.
[/mm]
Weiterhin sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x_n \in \IQ$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} x_n [/mm] = [mm] x_0 \ne 1-x_0 [/mm] = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Also ist $f$ in [mm] $x_0 \ne [/mm] 0.5$ auf jeden Fall unstetig.
Es sei nun [mm] $x_0=0.5$ [/mm] und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Dann gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-0.5|<\delta:=\varepsilon$:
[/mm]
$|f(x)-f(0.5)| = |f(x) - 0.5| = [mm] \left\{ \begin{array}{cccc} |x-0.5|<\varepsilon & , & \mbox{falls} & x \in \IQ,\\[5pt] |(1-x)-0.5| = |0.5-x| < \varepsilon & , & \mbox{falls} & x \in \IR \setminus \IQ \end{array} \right\}< \varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:25 Mi 06.04.2005 | | Autor: | johann1850 |
Was ist denn mit Bijektivität?
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Hallo Johann,
Was bedeutet denn injektiv/surjektiv? Oder wie definiert man injektiv/surjektiv? Wie schauen deine Ideen aus?
gruß
mathemaduenn
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Hi, klar weiß ich es
injektiv, wenn f(x1)=f(x2) [mm] \Rightarrow [/mm] x1=x2
surjekti, wenn es bei Abbildung zu jedem y nur ein x gibt.
Ich kanns aber bei dieser Aufgabe nicht anwenden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur Surjektivität:
Zu zeigen ist, dass es für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit $f(x)=y$.
Für $y [mm] \in \IQ$ [/mm] ist nichts zu zeigen, denn man kann $x=y$ wählen.
Ist $y [mm] \in \IR \setminus \IQ$, [/mm] dann ist auch $x:=1-y [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] (da [mm] $\IQ$ [/mm] abgeschlossen bezüglich der Addition ist und ansonsten $y=1-x [mm] \in \IQ$ [/mm] wäre, Widerspruch). Es folgt also:
$f(x) = 1-x = 1-(1-y)=y$,
was zu zeigen war.
Zur Injektivität:
Zu zeigen ist:
Für $x [mm] \ne [/mm] y$ folgt: $f(x) [mm] \ne [/mm] f(y)$.
Für $x,y [mm] \in \IQ$ [/mm] oder [mm] $x,y\in \IR \setminus \IQ$ [/mm] ist die Behauptung trivialerweise erfüllt.
Sei also oBdA $x [mm] \in \IQ$ [/mm] und $y [mm] \in \IR \setminus \IQ$.
[/mm]
Angenommen, es wäre $f(x) = f(y)$, also: $x=1-y$.
Dann wäre $y = 1-x [mm] \in \IQ$, [/mm] da [mm] $\IQ$ [/mm] bezüglich der Addition abgeschlossen ist, Widerspruch.
Damit ist alles gezeigt.
Viele Grüße
Stefan
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Stefan Irgendwie verstehe ich es nicht oder du hast die aufgabe falsch verstanden.
f: [mm] \IR\to\IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\in\IQ\\ 1-x, & \mbox{für } x\in\IR \backslash \IQ \end{cases}
[/mm]
Beweisen:
a)f ist nur im Punkt x=0.5 stetig.
b)f ist bijektiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Johann!
Also ich habe die Aufgabe mit Sicherheit richtig verstanden und auch richtig gelöst, da kannst du dir sicher sein. 
Was genau ist dir denn unklar?
Viele Grüße
Stefan
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