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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] durch
f(x,y) := [mm] \bruch{x^3}{x^2 + y^2} [/mm] falls [mm] \vektor{x \\ y} \not= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
f(x,y) := 0, falls [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
definiert.
Untersuchen sie, ob f in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] stetig ist. |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
Ich habe irgendwie das Gefühl dass diese Funktion in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] nicht stetig ist und dass es eine Folge [mm] (x_k, y_k) [/mm] geben müsste die gegen [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] konvergiert, aber bei der die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_k, y_k) [/mm] nicht gegen [mm] f(\vektor{0 \\ 0}) [/mm] =0 konvergiert. Womit ja die Funktion in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] nach dem Folgenkriterium nicht stetig wäre. Ich kann solch eine Folge allerdings nicht finden. Vielleicht täuscht mich auch mein Gefühl und
f ist an dieser Stelle stetig.
Wenn ja, wie könnte ich dies am besten nachweisen.
vielen dank schon mal!
Viele grüße,
schlupfinchen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^n \to \IR[/mm] durch
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> f(x,y) := [mm]\bruch{x^3}{x^2 + y^2}[/mm] falls [mm]\vektor{x \\ y} \not= \vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> f(x,y) := 0, falls [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> definiert.
> Untersuchen sie, ob f in [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] stetig ist.
> Hallo,
>
> kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
> Ich habe irgendwie das Gefühl dass diese Funktion in
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] nicht stetig ist und dass es eine Folge
> [mm](x_k, y_k)[/mm] geben müsste die gegen [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> konvergiert, aber bei der die Folge der Funktionswerte
> [mm]f(x_k, y_k)[/mm] nicht gegen [mm]f(\vektor{0 \\ 0})[/mm] =0 konvergiert.
> Womit ja die Funktion in [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] nach dem
> Folgenkriterium nicht stetig wäre. Ich kann solch eine
> Folge allerdings nicht finden. Vielleicht täuscht mich auch
> mein Gefühl und
> f ist an dieser Stelle stetig.
> Wenn ja, wie könnte ich dies am besten nachweisen.
> vielen dank schon mal!
Mit Polarkoordinaten $x = [mm] rcos(\phi), [/mm] y = [mm] rsin(\phi)$ [/mm] siehst Du
$|f(x,y)| = [mm] \bruch{r^3|cos^3(\phi)|}{r^2} \le [/mm] r = [mm] \wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Damit: $|f(x,y)| [mm] \to [/mm] 0 = f(0,0)$ für $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$
FRED
>
> Viele grüße,
> schlupfinchen.
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Hallo fred,
kann man das auch anders zeigen, da wir in der Vorlesung noch nicht mit Polarkoordinaten gearbeitet haben!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> kann man das auch anders zeigen,
Ja,
für x [mm] \not= [/mm] 0 ist $|f(x,y)| [mm] \le \bruch{|x|^3}{x^2} [/mm] = |x|$
und
für x = 0 ist $|f(x,y)| = 0$
Insgesamt: [mm] $|f(x,y)|\le [/mm] |x|$
FRED
> da wir in der Vorlesung
> noch nicht mit Polarkoordinaten gearbeitet haben!?
>
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