Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Di 05.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie ob f stetig auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] fortgesetzt werden kann. |
[mm] f:\IR^{2} [/mm] \ [mm] {\vektor{0 \\ 0}} \to\IR [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{(xy)^{2}}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}}
[/mm]
Wie gehe ich diese Aufgabe an? Ich habe es mit den Nullfolgen versucht, bekomme aber auch kein vernünftiges Ergebnis.
Meine Vorgehensweise war so:
Sei [mm] \vektor{a_{k} \\ b_{k}} [/mm] = [mm] \vektor{1/k \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{c_{k} \\ d_{k}}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \vektor{1/k \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \vektor{0 \\ 1/k}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f [mm] \vektor{1/k \\ 0} [/mm] = ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Newbie!
Vewende hier die Polarkoordinaten $x \ := \ [mm] r*\cos(\varphi)$ [/mm] sowie $y \ := \ [mm] r*\sin(\varphi)$ [/mm] .
Fasse zusammen und bilde den Grenzwert [mm] $r\rightarrow [/mm] 0^+$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Newbie89 |
Wieso ausgerechnet die Polarkoordinaten? Bin immer davon ausgegangen, dass wir eine Nullfolge benutzen müssen?
Ich habe dann für x = r cos [mm] (\delta) [/mm] eingesetzt und den Grenzwert gegen 0 laufen lassen, aber für mich ergibt das ganze im Moment keinen besseren Sinn?!
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Hallo Newbie89,
> Wieso ausgerechnet die Polarkoordinaten?
Weil es damit sehr einfach einsichtig ist
> Bin immer davon
> ausgegangen, dass wir eine Nullfolge benutzen müssen?
Das tun wir ja auch
>
> Ich habe dann für x = r cos [mm](\delta)[/mm] eingesetzt und den
> Grenzwert gegen 0 laufen lassen, aber für mich ergibt das
> ganze im Moment keinen besseren Sinn?!
Du musst ja zeigen, dass für eine beliebige Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$ [/mm] gefälligst [mm] $f(x_n,y_n)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] existiert und stets gegen denselben Wert konvergiert, dann kannst du [mm] $f(0,0):=\text{diesen GW}$ [/mm] setzen und f so stetig fortsetzen in $(0,0)$
Wenn der GW [mm] $f(r,\varphi)$ [/mm] unabhängig von [mm] $\varphi$, [/mm] dh. egal auf welchem (Schlinger-)Kurs du dich mit $(x,y)$ auch auf $(0,0)$ zubewegst [mm] ($r\downarrow [/mm] 0$ bedeutet ja, dass die Länge des Vektors $(x,y)$ gegen 0 geht) für [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ gegen ein- und denselben Wert konvergiert, hast du gewonnen, denn dann verhält sich jede Nullfolge so.
LG
schachuzipus
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