Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 Di 05.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | | Untersuchen sie die Funktion auf Stetigkeit: |
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{ x^2 +y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Also ich hatte mir folgendes Überlegt. Muss ja sowieso nur im Punkt 0,0 betrachten.
Also habe die polarkoordinaten eingesetzt und dann gekürzt und dann hab ich nur noch stehen: [mm] sin(\alpha)*cos(\alpha)
[/mm]
und da das ja gar nicht 0 werden kann, ist die Funktion NICHT stetig..
oder habe ich da jetzt irgendwas falsch gemacht. wäre nett wenn ihr mal drüber gucken könntet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:08 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
also habe da:
[mm] \bruch{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}{r^2*sin^2(\alpha)+r^2*cos^2(\alpha)} [/mm] = [mm] sin(\alpha)*cos(\alpha)
[/mm]
und jetzt? weil habe gerade gemerkt, dass das ja doch 0 werden kann und das totaler quatsch ist was ich da geschrieben habe.
aber was bringt mir das jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> also habe da:
>
> [mm]\bruch{r*cos(\alpha)*r*sin(\alpha)}{r^2*sin^2(\alpha)+r^2*cos^2(\alpha)}[/mm]
> = [mm]sin(\alpha)*cos(\alpha)[/mm]
> und jetzt? weil habe gerade gemerkt, dass das ja doch 0
> werden kann und das totaler quatsch ist was ich da
> geschrieben habe.
> aber was bringt mir das jetzt?
Für [mm] \alpha [/mm] = 0 ist [mm]sin(\alpha)*cos(\alpha)= 0[/mm], also ist f auf der x_Achse konstant = 0 (was man natürlich viel einfacher sehen kan)
Für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ist [mm]sin(\alpha)*cos(\alpha)= 1/2[/mm], also ist f auf der 1. Winkelhalbierenden konstant = 1/2 (was man natürlich viel einfacher sehen kan)
Was ist nun mit Stetigkeit in (0,0) ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
somit ist die funktion in (0,0) niht stetig, weil es ja dadurch eine Sprungstelle geben muss.. oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja, f ist in (0,0) nicht stetig
(das mit der Sprungstelle lasse lieber mal ..................)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
okay... danke schonmal.. glaube habe das soweit verstanden..
aber jetzt hab ich hier noch eien andere Aufgabe:
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases}\sin(x/y^2) , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } y=0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $
jetzt dachte ich erst wieder dass ich das in polarkoordinaten umschreibe und dann r gegen 0 laufen lasse und gucke ob es 0 wird, aber irgendwie klappt das ja nicht weil diesmal da nur y=0 steht,
wie soll ich das denn dann machen?
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Hallo Achtzig,
setze mal x fest (als [mm] x_0 [/mm] oder so) und lasse y gegen 0 laufen. Dann hast Du die Aufgabe erstmal auf zwei Dimensionen reduziert, siehst aber ...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
hmmm..
also wenn ich mich nicht irre, wird das was in der Klammer steht immer größer und größer. also wird der wert von sin auch nicht 0 sondenr pendelt immer weiter von -1 zu 1 und zurück.
also läuft die Funktion nicht gegen 0
und die Funktion ist im Punkt (0,0) nicht stetig.
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich fürchte Du hast f nicht korrekt aufgeschrieben. Muß es nicht so lauten:
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases}\sin(x/y^2) , & \mbox{für } y\not=0 \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } y=0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Klar dürfte sein: f ist in jedem Punkt (x,y) stetig , für den y [mm] \not= [/mm] 0 gilt.
Für die Stetigkeitsuntersuchung in Punkten der Form [mm] (x_0,0) [/mm] , folge dem Tipp von reverend:
Wähle zum Beispiel dei Folge [mm] $((x_0+1/n, [/mm] 1/n))$. Diese konv. gegen [mm] (x_0,0) [/mm] und es ist
[mm] $f(x_0+1/n, [/mm] 1/n) = [mm] sin(n^2x_0+n)$
[/mm]
Was kannst Du ablesen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
ne die aufgabe steht da schon richtig. deshalb hab ich mich ja auch gewundert.
aber nochmal auf das letzte was du geschrieben hast:
$ [mm] f(x_0+1/n, [/mm] 1/n) = [mm] sin(n^2x_0+n) [/mm] $
daran erkenn ich doch jetzt, wenn ich n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse, dass es nicht gegen 0 konvergiert und somit nicht stetig ist oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> ne die aufgabe steht da schon richtig.
Das kann nicht sein ! Wie ist denn f in (1,0) definiert ?????? Es ist (1,0) [mm] \not= [/mm] (0,0). Also wäre f(1,0) = [mm] sin(\bruch{1}{0^2})
[/mm]
Du siehst, das ist Quark.
> deshalb hab ich mich
> ja auch gewundert.
> aber nochmal auf das letzte was du geschrieben hast:
> [mm]f(x_0+1/n, 1/n) = sin(n^2x_0+n)[/mm]
>
> daran erkenn ich doch jetzt, wenn ich n gegen [mm]\infty[/mm] laufen
> lasse, dass es nicht gegen 0 konvergiert und somit nicht
> stetig ist oder nicht?
Genau
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
da hast du recht.. scheint aber dann so gemeint zu sein dasses dann = 0 zu sein, weil y=0 ist
aber die aufgabe steht hier wirklich so:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/schweizer/ana2009_bl03.pdf
aufgabe 1c) ist das
also reicht das jetzt wie ich das habe oder wie muss ich das machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> da hast du recht.. scheint aber dann so gemeint zu sein
> dasses dann = 0 zu sein, weil y=0 ist
Das glaube ich nicht. Der Aufgabensteller hat sich einfach vertippt (sowas kommt vor)
Fasse f so auf, wie ich es Dir oben geschrieben habe.
> aber die aufgabe steht hier wirklich so:
>
> http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/schweizer/ana2009_bl03.pdf
> aufgabe 1c) ist das
>
> also reicht das jetzt wie ich das habe oder wie muss ich
> das machen?
Hab ich Dir oben schon gesagt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Achtzig |
okay danke danke
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