Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, also bei meiner Frage geht um es Stetigkeitsnachweise mit [mm] \varepsilon-\delta-De\brfinitionen:
[/mm]
Die Aufgaben lauten:
a) Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{1-x} [/mm] ist in allen Punkten [mm] x_0 \in (1,\infty) [/mm] stetig. Hinweis: Beachte, dass |1-x| = |x-1| = x-1 für x > 1 gilt. Zum Abschätzen ist es sinnvoll, nach Möglichkeit Beträge so aufzulösen, dass (in auftretenden Produkten oder Brüchen) alle Faktoren positiv sind.
b) Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{1-x} [/mm] ist auf allen Intervallen der Form [mm] [a,\infty) [/mm] mit a>1 gleichmäßig stetig.
Mein Problem ist nun, dass ich nicht ganz sicher weiss, wie man die Stetigkeit in einem Intervall zeigt, bei einem Punkt [mm] x_0 [/mm] setzt man diesen Punkt ja einfach ein und auf ganz [mm] \IR [/mm] nimmt man quasi die Funktion mit einer anderen Variablen und zeigt die Stetigkeit für alle Punkte.
Ich würde so anfangen:
Zu a)
[mm] |\bruch{x}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{x_0}{1-x_0}| [/mm] = [mm] |\bruch{x(1-x_0)}{(1-x)*(1-x_0)} [/mm] - [mm] \bruch{x_0(1-x)}{(1-x_0)*(1-x)}| [/mm] = [mm] |\bruch{x-xx_0-(x_0-xx_0)}{(1-x)*(1-x_0)}| [/mm] = [mm] |\bruch{x-x_0}{(1-x)*(1-x_0)}| [/mm] < [mm] |\bruch{\delta}{(1-x)*(1-x_0)}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Ist das so richtig? Wenn ja, was ist hier dann der Unterschied zur vorgehensweise bei "Stetigkeit auf ganz [mm] \IR" [/mm] nachweisen?
Zu b):
Hier ist mir nicht klar, was der Unterschied dieser Aufgabe zu a) darstellt :s
|
|
| |
|
> Hallo, also bei meiner Frage geht um es
> Stetigkeitsnachweise mit
> [mm]\varepsilon-\delta-De\brfinitionen:[/mm]
>
> Die Aufgaben lauten:
> a) Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x}{1-x}[/mm] ist in allen Punkten
> [mm]x_0 \in (1,\infty)[/mm] stetig. Hinweis: Beachte, dass |1-x| =
> |x-1| = x-1 für x > 1 gilt. Zum Abschätzen ist es sinnvoll,
> nach Möglichkeit Beträge so aufzulösen, dass (in
> auftretenden Produkten oder Brüchen) alle Faktoren positiv
> sind.
>
> b) Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x}{1-x}[/mm] ist auf allen
> Intervallen der Form [mm][a,\infty)[/mm] mit a>1 gleichmäßig
> stetig.
>
>
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht ganz sicher weiss, wie
> man die Stetigkeit in einem Intervall zeigt, bei einem
> Punkt [mm]x_0[/mm] setzt man diesen Punkt ja einfach ein und auf
> ganz [mm]\IR[/mm] nimmt man quasi die Funktion mit einer anderen
> Variablen und zeigt die Stetigkeit für alle Punkte.
>
> Ich würde so anfangen:
>
> Zu a)
> [mm]|\bruch{x}{1-x}[/mm] - [mm]\bruch{x_0}{1-x_0}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x(1-x_0)}{(1-x)*(1-x_0)}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_0(1-x)}{(1-x_0)*(1-x)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-xx_0-(x_0-xx_0)}{(1-x)*(1-x_0)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-x_0}{(1-x)*(1-x_0)}|[/mm] <
> [mm]|\bruch{\delta}{(1-x)*(1-x_0)}|[/mm] [mm] \red{<}[/mm] [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
nicht ganz.
Ich erkenne an Deinem Beweis - wenn meine bösartigen Persönlichkeitsmerkmale in den Vordergrund treten lasse - überhaupt nicht, worum es geht. Was soll das [mm] \varepsilon [/mm] sein? Und vor allem: das [mm] \delta???
[/mm]
Du mußt die Sache also wirklich richtig aufschreiben:
Sei [mm] \varepsilon>0, [/mm] sei [mm] x_0\in (1,\infty). [/mm] Wähle [mm] \delta:= [/mm] --- (Deinen Ausführungen entnehme ich, daß Du Dich mehr oder weniger heimlich für [mm] \delta=\varepsilon [/mm] entschieden hast. Also:) Wähle [mm] \delta:=\varepsilon.
[/mm]
Nächste Unklarheit: Was ist mit x? Ein ganz bestimmtes? Wo kommt das her? Ich reime mir zusammen, daß Du eigentlich noch schreiben wolltest:
für alle [mm] x\in (1,\infty) [/mm] mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt: ...
Die Rechnung, die Du dann durchführst, stimmt von den Umformungen her. Allerdings habe ich an der Stelle mit dem rot markierten [mm] \red{<} [/mm] allergrößte Bedenken:
Du schätzt hier ab [mm] |\bruch{1}{(1-x)*(1-x_0)}| [/mm] < 1, und dem kann ich nicht folgen, denn
angenommen, es ist [mm] x_0= [/mm] 1.3, [mm] \varepsilon=\delta=0.2, [/mm] x=1.2, dann geht die Sache gründlich in die Hose.
Fazit: das [mm] \delta, [/mm] welches Du Dir ausgedacht hast, kannst Du wohl nicht nehmen, Du mußt Dir irgendwie was Raffinierteres ausdenken. Hierbei mußt Du in Erwägung ziehen, daß Dein [mm] \delta [/mm] möglicherweise nicht unabhängig vom [mm] x_0 [/mm] ist.
Der Unterschied zur Stetigkeit auf ganz [mm] \IR: [/mm] Deine Punkte entstammen hier nur einem Teilbereich, was sich bei Abschätzungen bemerkbar machen kann.
zu Aufg. b) In a) hast Du das Intervall [mm] (1,\infty] [/mm] betrachtet, Deine Punkte konnten also beliebig dicht an die 1 heranrücken. Nun betrachtest Du ein links abgeschlossenes Intervall [mm] [a,\infty), [/mm] welches Dir einen "Sicherheitsabstand" zur 1 garantiert, und Deine Funktion "zähmt". Wenn Du Dir ein Bildchen malst, wirst Du sehen, was ich meine.
Und nur, weil die Funktion auf diese Weise gezügelt wurde, gelingt hier der Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit.
Die glm Stetigkeit unterscheidet sich von der Stetigkeit dadurch, daß man hier ein von der betrachteten Stelle [mm] x_o [/mm] unabhängiges [mm] \delta [/mm] wählen kann, welches auf dem gesamten Definitionsbereich funktioniert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hmm, hab immernoch Unklarheiten....
f: X -> Y
Bei der punktweisen Stetigkeit hängt mein [mm] \delta [/mm] doch vom [mm] \varepsilon [/mm] UND [mm] x_0 [/mm] ab. Wähle ich graphisch gesehen also einen Punkt [mm] x_0 [/mm] und um diesen Punkt herum meine [mm] \delta-Umgebung, [/mm] so müssen alle x [mm] \in [/mm] X in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] abgebildet werden. Sprich jedem Punkt kann ein Bildpunkt zugeordnet werden.
Bei der gleichmäßigen Stetigkeit hängt mein [mm] \delta [/mm] wohl nur vom [mm] \varepsilon [/mm] ab. Was bedeuted die graphisch? Was ändert dies am [mm] \varepsilon-\delta-Beweis?
[/mm]
Nochmal zu den Intervallen in a) und b):
In a) habe ich ja ein offenes Intervall [mm] x_0 \in [/mm] (1, [mm] \infty). [/mm] Hier kann ich also beliebig dicht an die 1 herantreten. Ist es deshalb nicht möglich die Funktion auf glm. Stetigkeit zu untersuchen?
In b) liegt ein halboffenes intervall [a, [mm] \infty) [/mm] mit a > 1 vor. Nun kann ich das Minimum wohl genau bestimmen, indem ich a einen Wert größer als 1 gebe.
Ich verstehe aber nicht, was der Kleine aber feine Unterschied hier ist =(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 04.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in 1 kannst du nicht fuer alle x ein [mm] \delta [/mm] angeben.
Du hast ja selbst geschrieben:
[mm] \bruch{\delta}{(x_0-1)*(x-1)}<\varepsilon.
[/mm]
du siehst direkt (oder mit Hilfe von angela, wenn [mm] x_0 [/mm] sehr nahe an 1 ist etwa 1.0001 dann steht im Nenner 0.0001*0.00005 (wenn ich annehme dass [mm] \delta [/mm] auf jeden fall<0.00005 bzw [mm] x_0/2 [/mm] ist. es steht da also [mm] \delta*10^{9}/5<\varepsilon.
[/mm]
jetzt kannst du natuerlich [mm] \delta<5*varepsilon*10^{-9} [/mm] nehmen, aber wenn [mm] x_0 [/mm] noch naeher an 1 rueckt, musst du [mm] \delta [/mm] immer kleiner waehlen.
waer dagegen dein Intervall [mm] [0.0001,\infty) [/mm] haettest du mit obigem [mm] \delta [/mm] schon eines gefunden ,was fuer alle x richtig ist. wenn a ein anderer fester Wert ist, geht das entsprechend. nicht aber wenn a "beliebig" nahe an 1 sein kann.
eine punktweise steige fkt ist in einem festen intervall immer glm. stetig, weil man das kleinste [mm] \delta [/mm] in diesem Intervall nehmen kann.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
So, ich versuche gleich noch ein Bild hochzuladen.
Die Definition für eine punktweise Stetigkeit lautet: f: X [mm] \to [/mm] Y
[mm] \forall\varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists\delta> [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in (1,\infty) [/mm] mit [mm] |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon
[/mm]
Wenn ich das nur graphisch veranschaulichen möchte, dann wähle ich mir doch zunächst einen Punkt [mm] x_0. [/mm] Dann wähle ich mir eine beliebig große [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um den Punkt [mm] f(x_0). [/mm] Ist die Funktion stetig, so muss ich doch auf jedenfall eine passende [mm] \delta-Umgebung [/mm] um den Punkt [mm] x_0 [/mm] finden, die "komplett in der [mm] \varepsilon-Umgebung" [/mm] liegt.
Das x [mm] \in [/mm] X (in Zeichnung rot) MUSS doch in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] liegen, oder? Weil liegt es außerhalb, dann würde ja [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] keinen Sinn machen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
------------------------------------------------------------------------------------------
Dann versuche ich mich nochmal an dem Beweis:
[mm] \forall\varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists\delta> [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X mit [mm] |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon
[/mm]
Sei $ [mm] \varepsilon>0, [/mm] $ sei $ [mm] x_0\in (1,\infty). [/mm] $ Wähle $ [mm] \delta:= [/mm] $ ---
Um das [mm] \delta [/mm] nun bestimmen zu können, schätzen wir zunächst ab:
$ [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{1-x} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x_0}{1-x_0}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x(1-x_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x_0(1-x)}{(1-x_0)\cdot{}(1-x)}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x-xx_0-(x_0-xx_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x-x_0}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}| [/mm] $ = [mm] \bruch{|x-x_0|}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} \underbrace{<}_{x<\bruch{x_0}{2}} \bruch{\delta}{(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)} [/mm] Das [mm] \delta [/mm] ist so zwar nicht schön, aber es ist abhängig von [mm] x_0 [/mm] und erfüllt seinen Zweck (hoffe ich =p )
Wir wählen also [mm] \delta:= \bruch{\delta}{(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \delta [/mm] < [mm] \varepsilon*(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)
[/mm]
------------------------------------------------------------------------------------------
Ist der Beweis so nun richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Stetigkeit scheinst Du richtig verstanden zu haben.
> ------------------------------------------------------------------------------------------
> Dann versuche ich mich nochmal an dem Beweis:
>
> [mm]\forall\varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists\delta>[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X mit
> [mm]|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0,[/mm] sei [mm]x_0\in (1,\infty).[/mm] Wähle [mm]\delta:=[/mm]
> ---
> Um das [mm]\delta[/mm] nun bestimmen zu können, schätzen wir
> zunächst ab:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)| = |\bruch{x}{1-x}[/mm] - [mm]\bruch{x_0}{1-x_0}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x(1-x_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_0(1-x)}{(1-x_0)\cdot{}(1-x)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-xx_0-(x_0-xx_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-x_0}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}|[/mm] =
> [mm]\bruch{|x-x_0|}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}[/mm] <
> [mm]\bruch{\delta}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} \underbrace{<}_{x<\bruch{x_0}{2}} \bruch{\delta}{(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)}[/mm]
Hier kann ich nicht folgen. Wei kommst Du auf [mm] x<\bruch{x_0}{2}?
[/mm]
Gruß v. Angela
> Das [mm]\delta[/mm] ist so zwar nicht schön, aber es ist abhängig
> von [mm]x_0[/mm] und erfüllt seinen Zweck (hoffe ich =p )
>
> Wir wählen also [mm]\delta:= \bruch{\delta}{(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)}[/mm]
> < [mm]\varepsilon \gdw \delta[/mm] <
> [mm]\varepsilon*(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)[/mm]
>
> ------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Ist der Beweis so nun richtig?
|
|
|
| |
|
Bei [mm] \varepsilon-\delta-Beweisen [/mm] hat unser Tutor uns immer gesagt, dass wenn wir bei punktweiser Stetigkeit unser [mm] \delta [/mm] vom [mm] x_0 [/mm] abhängig machen wollen, dann ist x < [mm] \bruch{x_0}{2} [/mm] eine legitime Abschätzung.
Hier wäre dann ein Beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bei [mm]\varepsilon-\delta-Beweisen[/mm] hat unser Tutor uns immer
> gesagt, dass wenn wir bei punktweiser Stetigkeit unser
> [mm]\delta[/mm] vom [mm]x_0[/mm] abhängig machen wollen, dann ist x <
> [mm]\bruch{x_0}{2}[/mm] eine legitime Abschätzung.
Der Tutor hat sie nicht mehr alle !!
Dies würde bedeuten: wenn ich die Stetigkeit einer Funktion im Punkt [mm] x_0 [/mm] = 10 nachweisen will, muß ich nur Argumente x mit x<5 berücksichtigen ??
So ein Schwachsinn.
FRED
>
> Hier wäre dann ein Beispiel:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Wie müsste meine Abschätzung denn dann aussehen, damit ich ein erfolgreiches [mm] \delta [/mm] erhalte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wie müsste meine Abschätzung denn dann aussehen, damit ich
> ein erfolgreiches [mm]\delta[/mm] erhalte?
Übrigends: in diesem Dateianhang steht ziemlicher Unfug.
Es geht also darum, zu zeigen, dass $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] in [mm] x_0 [/mm] stetig ist.
Wir können von vornherein annehmen, dass [mm] $|x-x_0| [/mm] < 1$ ist. Dann: $|x| [mm] <1+|x_0|$
[/mm]
Es ist
(*) [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |x+x_0||x-x_0| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0| \le (1+2|x_0|) |x-x_0|$
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Setze [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|}
[/mm]
Dann folgt aus (*): [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für [mm] $|x-x_0|< \delta$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
> Es geht also darum, zu zeigen, dass [mm]f(x) = x^2[/mm] in [mm]x_0[/mm]
> stetig ist.
Eiggentlich meinte ich eine Abschätzung für die obere Aufgabe.
>
> Wir können von vornherein annehmen, dass [mm]|x-x_0| < 1[/mm] ist.
> Dann: [mm]|x| <1+|x_0|[/mm]
>
Kann man das annhemen, weil man das [mm] \delta [/mm] beliebig klein wählen darf?
> Es ist
>
> (*) [mm]|f(x)-f(x_0)| = |x+x_0||x-x_0| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0| \le (1+2|x_0|) |x-x_0|[/mm]
>
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Setze [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|}[/mm]
>
>
> Dann folgt aus (*): [mm]|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon[/mm] für
> [mm]|x-x_0|< \delta[/mm]
>
> FRED
Welche Rechenschritte sind denn im Dateianhang unfug?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es geht also darum, zu zeigen, dass [mm]f(x) = x^2[/mm] in [mm]x_0[/mm]
> > stetig ist.
>
> Eiggentlich meinte ich eine Abschätzung für die obere
> Aufgabe.
>
> >
> > Wir können von vornherein annehmen, dass [mm]|x-x_0| < 1[/mm] ist.
> > Dann: [mm]|x| <1+|x_0|[/mm]
> >
>
> Kann man das annhemen, weil man das [mm]\delta[/mm] beliebig klein
> wählen darf?
Nur das Verhalten von f in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] ist relevant. Also kann man annehmen, dass x so nahe bei [mm] x_0 [/mm] ist, dass [mm]|x-x_0| < 1[/mm] ist
> > Es ist
> >
> > (*) [mm]|f(x)-f(x_0)| = |x+x_0||x-x_0| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0| \le (1+2|x_0|) |x-x_0|[/mm]
>
> >
> >
> > Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Setze [mm]\delta[/mm] =
> > [mm]\bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|}[/mm]
> >
> >
> > Dann folgt aus (*): [mm]|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon[/mm] für
> > [mm]|x-x_0|< \delta[/mm]
> >
> > FRED
>
> Welche Rechenschritte sind denn im Dateianhang unfug?
Z.B. : [mm] "$|x+x_0| [/mm] < [mm] |x_0/2 +x_0|$" [/mm] ,
mal davon abgesehen, dass "x< [mm] x_0/2" [/mm] schon Unsinn ist, kann diese Ungleichung nicht richtig sein, z.B. für [mm] x_0 [/mm] = 0,
Ebenso bei
" [mm] \delta [/mm] < [mm] \bruch{2 \varepsilon}{3x_0}"
[/mm]
Was macht denn der Verfasser (ist das Euer hochbegabter Tutor ?) dieser "Lösung" im Falle [mm] x_0 [/mm] = 0 ????
FRED
>
|
|
|
| |
|
> Bei [mm]\varepsilon-\delta-Beweisen[/mm] hat unser Tutor uns immer
> gesagt, dass wenn wir bei punktweiser Stetigkeit unser
> [mm]\delta[/mm] vom [mm]x_0[/mm] abhängig machen wollen, dann ist x <
> [mm]\bruch{x_0}{2}[/mm] eine legitime Abschätzung.
Hallo,
daß das Quatsch ist, sollte jetzt klar sein.
Nun nochmal zu Deiner Aufgabe:
ich hoffe, daß Dir klar geworden ist, daß Du hier verhindern mußt, daß das [mm] \delta [/mm] so ist, daß Du mit dem x mit [mm] |x-x_0| [/mm] zu nahe an die 1 kommst.
Es verbietet Dir ja niemand, das [mm] \delta [/mm] so klein zu machen, wie Du gerade lustig bist.
Du kannst also von vornherein z.B. [mm] \delta\le \bruch{x_0-1}{2} [/mm] wählen, um einen "Sicherheitsabstand" zur 1 zu gewährleisten.
Wie das [mm] \delta [/mm] genau aussieht, kann man sich dann später überlegen.
Nun versuche mal, mit diesem eingeschränkten [mm] \delta [/mm] zu arbeiten. Überlege Dir dazu, in welchem Bereich die x aus der [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] x_0 [/mm] nun nur liegen können.
Die sollte Dir bei mAbschätzen helfen.
Ich würde übrigens lieber mit x-1 und mit [mm] x_0-1 [/mm] arbeiten als mit 1-x und [mm] 1-x_0. [/mm] Das Rechnen mit positiven Zahlen fällt ja i.a. etwas leichter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Nochmal ne kleine Anmerkung:
Die Abschätzung mit [mm] x<\bruch{x_0}{2} [/mm] kam nicht nur von einem Tutor... Gesagt wurde mir nun, dass wenn man [mm] \delta:= [/mm] min{ [mm] \bruch{x_0}{2}, \bruch{2 \varepsilon}{3x_0} [/mm] } angibt würde es hinhauen. In dem Fall müsste dann noch für [mm] x_0 [/mm] = 0 gesagt werden, dass [mm] \delta:=\varepsilon [/mm] hinhaut.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Fr 06.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Beziehst Du Dich auf f(x) = [mm] x^2 [/mm] ?
Wenn ja, so würde ich im Falle [mm] x_0 [/mm] = 0 bei gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 aber
[mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel{\varepsilon}
[/mm]
wählen !
FRED
|
|
|
| |
|
Woran genau siehst du eigentlich, wie man das [mm] \delta [/mm] bzw. [mm] \varepsilon [/mm] am geeignetsten wählen sollte? :p
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Fr 06.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] und [mm] x_0 [/mm] = 0
$|f(x) -f(0)| = [mm] |x^2| [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] |x| < [mm] \wurzel{\varepsilon}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
So....
[mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = ... = [mm] \bruch{|x-x_0|}{|(1-x)(1-x_0)|} [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{(x-1)(x_0-1)}
[/mm]
... Aber um ehrlich zu sein, weiss ich jezzt wirklich nicht wie ich weiter abschätzen soll, damit ich ein passendes [mm] \delta [/mm] finde :/
|
|
|
| |
|
> So....
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] = ... = [mm]\bruch{|x-x_0|}{|(1-x)(1-x_0)|}[/mm] <
> [mm]\bruch{\delta}{(x-1)(x_0-1)}[/mm]
>
> ... Aber um ehrlich zu sein, weiss ich jezzt wirklich nicht
> wie ich weiter abschätzen soll, damit ich ein passendes
> [mm]\delta[/mm] finde :/
>
>
Hallo,
hast Du Dir denn durchgelesen, was ich hier geschrieben habe.
Wenn ja: wie weit bist Du damit gekommen? Hast Du Dir mal eine Zeichnung gemacht von den [mm] x_0, [/mm] x und den max. Grenzen, die ich vorschlug?
Wenn dieses [mm] \delta [/mm] nicht größer ist als das von mir vorgeschlagene, zwischen welchen Zahlen liegt dann x? Und x-1? Und [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] ?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Puhhhh, diese [mm] \varepsilon-\delta-Beweise [/mm] werde ich glaube ich nie verstehen =p.
Du hast oben ja gesagt, dass man mit [mm] \delta \le \bruch{x_0-1}{2} [/mm] arbeiten sollte. Was mir absolut unklar ist: Wie kannst du sowas sehen, dass man z.B. diesen "Sicherheitsabstand" wählen sollte?
Mein [mm] x_0 [/mm] ist ja [mm] \in (1,\infty). [/mm] Wahle ich also z.B. [mm] x_0=2, [/mm] dann ist mein [mm] \delta \le \bruch{2-1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Die x liegen dann doch in der [mm] \delta-Umgebung, [/mm] aber da x [mm] \in (1,\infty) [/mm] ist, kann es doch gar net komplet in dieser Umgebung sein.
Ich glaube dafür bin ich echt zu dumm =p
|
|
|
| |
|
> Puhhhh, diese [mm]\varepsilon-\delta-Beweise[/mm] werde ich glaube
> ich nie verstehen =p.
>
> Du hast oben ja gesagt, dass man mit [mm]\delta \le \bruch{x_0-1}{2}[/mm]
> arbeiten sollte. Was mir absolut unklar ist: Wie kannst du
> sowas sehen, dass man z.B. diesen "Sicherheitsabstand"
> wählen sollte?
Hallo,
daß ich einen Sicherheitsabstand brauche, erkenne ich spätestens an der Stelle, an der man die Abschätzung machen möchte.
Ich hab' Dir ja vorgerechnet, was passiert, wenn man mit dem x zu dicht an die 1 gerät.
Hilfreich ist hier sicher eine Skizze.
> Mein [mm]x_0[/mm] ist ja [mm]\in (1,\infty).[/mm] Wahle ich also z.B. [mm]x_0=2,[/mm]
> dann ist mein [mm]\delta \le \bruch{2-1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
Dieses "geteilt durch 2" ist nicht zwingend, "geteilt durch 4711" würde genausogut funktionieren, ist abre unbequemer beim Rechnen.
> Die
> x liegen dann doch in der [mm]\delta-Umgebung,[/mm]
Die hast Du bisher noch nicht, der Prozeß des Findens muß sich noch anschließen. Ich habe bloß von vornherein des Beschluß gefaßt, daß [mm] \delta [/mm] allerhöchstens= [mm] \bruch{x_0-1}{2}
[/mm]
sein soll.
> aber da x [mm]\in (1,\infty)[/mm]
> ist, kann es doch gar net komplet in dieser Umgebung sein.
>
> Ich glaube dafür bin ich echt zu dumm =p
Nein, zu dumm denke ich nicht, das Thema fällt ja vielen schwer.
Bedenke, daß Du für Deinen [mm] \varepsilon \delta-Beweis [/mm] von vornherein nur solche x betrachtest, die nicht nur im Definitionsbereich der Funktion liegen, sondern auch in der [mm] \delta- [/mm] Umgebung.
Und da ich mein [mm] \delta [/mm] eingeschränkt habe, weiß ich, daß für x, sofern es in einer [mm] \delta-Umgebung [/mm] um [mm] x_0 [/mm] liegt, gilt:
[mm] x_0 [/mm] - [mm] \bruch{x_0-1}{2}< [/mm] x< [mm] x_0 [/mm] + [mm] \bruch{x_0-1}{2}. [/mm]
Damit kann ich abschätzen und schließlich ein [mm] \delta [/mm] errechnen, welches das Minimum von [mm] \bruch{x_0-1}{2} [/mm] und dem nach der Abschätzung errechneten ist. So erreiche ich, daß das [mm] \delta [/mm] so klein ist, daß es keine Fisimatenten macht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ich habe nun eine Skizze angefertigt. Ich habe wie du es vorgeschlagen hast $ [mm] \delta \le \bruch{x_0-1}{2} [/mm] $ gewählt und als Beispiel [mm] x_0=3 [/mm] gesetzt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für diesen Fall gilt dann also:
$ [mm] x_0 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x_0-1}{2}< [/mm] $ x< $ [mm] x_0 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x_0-1}{2}. [/mm] $
= $ 3 $ - $ [mm] \bruch{3-1}{2}< [/mm] $ x< $ 3 $ + $ [mm] \bruch{3-1}{2}. [/mm] $ = 3-1 < x < 3+1 = 2 < x < 4
Also liegt das x nun im Intervall [2,4].
Also...
$ [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] $ = ... = $ [mm] \bruch{|x-x_0|}{|(1-x)(1-x_0)|} [/mm] $ < $ [mm] \bruch{\delta}{(x-1)(x_0-1)} [/mm] $ [mm] \le \bruch{\bruch{x_0-1}{2}}{(x-1)(x_0-1)}
[/mm]
Aber wie es jetzt weitergeht... keine Ahnung :-(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Ich habe nun eine Skizze angefertigt. Ich habe wie du es
> vorgeschlagen hast [mm]\delta \le \bruch{x_0-1}{2}[/mm] gewählt und
> als Beispiel [mm]x_0=3[/mm] gesetzt.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Für diesen Fall gilt dann also:
>
> [mm]x_0[/mm] - [mm]\bruch{x_0-1}{2}<[/mm] x< [mm]x_0[/mm] + [mm]\bruch{x_0-1}{2}.[/mm]
>
> = [mm]3[/mm] - [mm]\bruch{3-1}{2}<[/mm] x< [mm]3[/mm] + [mm]\bruch{3-1}{2}.[/mm] = 3-1 < x <
> 3+1 = 2 < x < 4
>
> Also liegt das x nun im Intervall [2,4].
Hallo,
Genau. Es ist gut, das mal mit konkreten Zahlen durchzuspielen.
Allgemeiner können wir schreiben
[mm] x_0-\bruch{x_0-1}{2}
>==> [mm] x_0-\bruch{x_0-1}{2}-1
<==> [mm] \bruch{x_0-1}{2}.
<==> [mm] \bruch{2}{x_0-1}>\bruch{1}{x_0-1}>\bruch{2}{3(x_0-1)}.
[/mm]
Hiermit können wir abschätzen - bedenke, daß wir nach wie vor auf der Suche nach einem passenden [mm] \delta [/mm] sind, wir haben bloß den Bereich, in dem wir suchen, etwas eingeschränkt:
>
> Also..
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] = ... = [mm]\bruch{|x-x_0|}{|(1-x)(1-x_0)|}[/mm] <
> [mm]\bruch{\delta}{(x-1)(x_0-1)}[/mm]
[mm] \le[/mm] [mm]\bruch{\delta}{(x_0-1)}[/mm][mm] *\bruch{2}{x_0-1} =\bruch{2*\delta}{(x_0-1)^2} \overbrace{!}_{<} \varepsilon.
[/mm]
Hieraus erhält man in einer Nebenrechnung [mm] \delta<\bruch{\varepsilon}{2(x_0-1)^2}.
[/mm]
Wenn man das weiß, dann kann man endlich seinen Beweis sauber von Anfang bis Ende aufschreiben:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] . Wähle [mm] \delta:=min\{ \bruch{x_0-1}{2} ; \bruch{\varepsilon}{4(x_0-1)^2}}.
[/mm]
Für alle x mit [mm] \qquad |x-x_0|<\delta [/mm] ist
>f(x)- [mm] f(x_0)| [/mm] = ... [mm] <\varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nochmal ne kleine Frage nebenbei:
Du hast das \delta nun einfach mit \bruch{x_0-1}{2} eingeschränkt und beim Angeben des $ \delta:=min\{ \bruch{x_0-1}{2} ; \bruch{\varepsilon}{4(x_0-1)^2}} } $ auch berücksichtigt.
Ist es vom Prinzip her dann nicht das gleiche als wenn ich diese Einschränkung mit \bruch{x_0}{2} mache?
|
|
|
| |
|
> Nochmal ne kleine Frage nebenbei:
>
> Du hast das [mm]\delta[/mm] nun einfach mit [mm]\bruch{x_0-1}{2}[/mm]
> eingeschränkt und beim Angeben des [mm]\delta:=min\{ \bruch{x_0-1}{2} ; \bruch{\varepsilon}{4(x_0-1)^2}} }[/mm]
> auch berücksichtigt.
>
> Ist es vom Prinzip her dann nicht das gleiche als wenn ich
> diese Einschränkung mit [mm]\bruch{x_0}{2}[/mm] mache?
Hallo,
eine Einschränkung mit [mm] \bruch{x_0}{2} [/mm] würde ja bei dieser Aufgabe nicht funktionieren, weil nicht gesagt wäre, daß wir weit genug wegbleiben von der gefährlichen 1.
Einschränken kann man den Bereich fürs [mm] \delta [/mm] nach Herzenslust.
Oder redest Du jetzt von der Aufgabe, die Du in der Uni hattest.? Von welcher Stelle genau?
Ich hab' jetzt nicht mehr den ganzen Thread im Kopf.
Meine Kritik hatte sich ja an der Abschätzung [mm] x<\bruch{x_0}{2} [/mm] entzündet, aber irgendwie habe ich im Hinterkopf, daß inzwischen ans Tageslicht gekommen ist, daß Du nur negative x betrachtest.
Rechne es doch einfach nochmal durch, und ggf. hier vor, dann können wir ja gucken.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Also die Rechnung sah so aus....
$ [mm] \forall\varepsilon> [/mm] $ 0 $ [mm] \exists\delta> [/mm] $ 0 $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X mit $ [mm] |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] $
Sei $ [mm] \varepsilon>0, [/mm] $ sei $ [mm] x_0\in (1,\infty). [/mm] $ Wähle $ [mm] \delta:= [/mm] $ ---
Um das $ [mm] \delta [/mm] $ nun bestimmen zu können, schätzen wir zunächst ab:
$ [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{1-x} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x_0}{1-x_0}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x(1-x_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x_0(1-x)}{(1-x_0)\cdot{}(1-x)}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x-xx_0-(x_0-xx_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}| [/mm] $ = $ [mm] |\bruch{x-x_0}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}| [/mm] $ = $ [mm] \bruch{|x-x_0|}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} [/mm] $ < $ [mm] \bruch{\delta}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} \underbrace{<}_{x<\bruch{x_0}{2}} \bruch{\delta}{(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)} [/mm] $
Es gilt also $ [mm] \bruch{\delta}{(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0)} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon \gdw \delta [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon\cdot{}(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0) [/mm] $
[mm] \Rightarrow \delta:=( \bruch{x_0}{2}, \varepsilon\cdot{}(1-\bruch{x_0}{2})\cdot{}(1-x_0) [/mm] )
|
|
|
| |
|
> Also die Rechnung sah so aus....
>
> [mm]\forall\varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists\delta>[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X mit
> [mm]|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0,[/mm] sei [mm]x_0\in (1,\infty).[/mm] Wähle [mm]\delta:=[/mm]
> ---
> Um das [mm]\delta[/mm] nun bestimmen zu können, schätzen wir
> zunächst ab:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)| = |\bruch{x}{1-x}[/mm] - [mm]\bruch{x_0}{1-x_0}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x(1-x_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_0(1-x)}{(1-x_0)\cdot{}(1-x)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-xx_0-(x_0-xx_0)}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x-x_0}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}|[/mm] =
> [mm]\bruch{|x-x_0|}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)}[/mm] <
> [mm][mm] \bruch{\delta}{(1-x)\cdot{}(1-x_0)} \underbrace{<}_{x<\bruch{x_0}{2}}
[/mm]
Hallo,
Nach wie vor die Frage: mit welchem Recht machst Du diese Abschätzung?
Die x, die Du hier betrachten muß, liegen doch in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] um [mm] x_0, [/mm] also beliebig nahe an [mm] x_0, [/mm]
und Du betrachtest x, die einen Sicherheitsabstand zu [mm] x_0 [/mm] haben, was doch der Fragestellung gar nicht angemessen ist.
Daß die Abschätzung nicht funktioniert, hatte ich (glaube ich) schonmal vorgerechnet an einem Beispiel.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
