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| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion [mm] f:\IR^2 \to\IR [/mm] die im [mm] \IR^2 [/mm] partiell differenzierbar ist. Die partiellen Ableitungen seien beschränkt, d.h.
[mm] \exists [/mm] M>0: [mm] |\partial_if(x)|\leM \forallx\in\IR^2, [/mm] i=1,2
Zeigen sie, dass f im [mm] \IR^2 [/mm] stetig ist.
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Könnt ihr mir vielleicht Tipps und eine Hilfe zur Lösung geben? Ich komme mit der Aufgabe absolut nicht klar und weiß auch nicht, welche Stetigkeitskriterien ich anwenden muss und was genau ich mit dem Ausdruck anfangen soll :(
mfg mathegirl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 16.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Gegeben sei eine Funktion [mm]f:\IR^2 \to\IR[/mm] die im [mm]\IR^2[/mm]
> partiell differenzierbar ist. Die partiellen Ableitungen
> seien beschränkt, d.h.
>
> [mm]\exists[/mm] M>0: [mm]|\partial_if(x)|\leM \forallx\in\IR^2,[/mm]
> i=1,2
[Bitte beim Schreiben mit dem Editor Leerzeichen benutzen an den richtigen Stellen.]
>
> Zeigen sie, dass f im [mm]\IR^2[/mm] stetig ist.
>
> Könnt ihr mir vielleicht Tipps und eine Hilfe zur Lösung
> geben?
Roadmap: OBdA [m](x,y)=(0,0)[/m] und [m]f(0,0)=0[/m], dann [m]f(x,y)=f(x,y)-f(x,0)+f(x,0)-0[/m]. Mit MWS aus dem 1-dim und den Vorraussetzungen folgt nun [m]|f(x,y)-f(x,0)|\le M y[/m] und [m]|f(x,0)|\le M x[/m], insgesamt also [m]|f(x,y)|\le M ||(x,y)||_1[/m] woraus Stetigkeit von f folgt. (also eigentlich der komplette Beweis ... die Idee ist: den direkten Weg von [m]x,y[/m] nach 0 durch Wege auf den Achsen ersetzen, hier kann man partielle ableiten und mit MWS eben die Differenzen nach oben abschätzen - bitte aufmalen!)
Hübsche Aufgabe! Weitere Fragen: Kann es sein, dass Richtungsableitungen nicht existieren? (keine Ahnung) Kann es sein, dass (falls es immer Richtungsableitugen gibt), diese in einem Pukt nicht Linearkombinationen der partiellen sind (ich denke ja- ein varierendes Gradenbündel um die 0, daß außerhalb glatt variert mit partiellen Ableitungen 0).
> Ich komme mit der Aufgabe absolut nicht klar und
> weiß auch nicht, welche Stetigkeitskriterien ich anwenden
> muss und was genau ich mit dem Ausdruck anfangen soll :(
Welche Kriterien hast du denn?
SEcki
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Vielen Dank für deine Antwort *freu* Da macht doch Mathe gleich mal wieder ein bissel mehr Spaß, wenn man auch weiter kommt! Und das ist die komplette Lösung der Aufgabe???? Also dann konnte ich es so halbwegs nachvollziehen.
Was sind denn Richtungsableitungen??
"den direkten Weg von nach 0 durch Wege auf den Achsen ersetzen, hier kann man partielle ableiten und mit MWS eben die Differenzen nach oben abschätzen - bitte aufmalen!"
- Wie meinst du das denn?
mfg mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 20.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Und das ist die komplette Lösung der
> Aufgabe????
Schon - allerdings musst du es verstehen, darum geht es.
> Was sind denn Richtungsableitungen??
Also eine Ableitung in eine beliebige Richtung, also in Richtung eines beliebigen Vektors v - [m]\partial_v f(x)=\lim_{t\to 0}\bruch{f(x+t*v)-f(x)}{||t*v||}[/m]
> "den direkten Weg von nach 0 durch Wege auf den Achsen
> ersetzen, hier kann man partielle ableiten und mit MWS eben
> die Differenzen nach oben abschätzen - bitte aufmalen!"
>
> - Wie meinst du das denn?
Den Punk [m](x,y)[/m] kann man mit dem Nullpunkt mit der Gerade verbinden - anstatt auf diesem Weg, laufe ich im Beweis quasi auf den Koordinnatenachsen nach 0 und schätze ab.
SEcki
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