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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 06.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
| Aufgabe | Überprüfe die folgende Funktion an der Stelle [mm] x_{0}=1 [/mm] auf Stetigkeit.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{1+x^{2}}, & \mbox{für }01 \end{cases}
[/mm]
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Hallo Zusammen,
ich weiß leider nicht so recht, wie ich da vorgehen muss.
Ich würde dies mithilfe der Folgenstetigkeit nachweisen. Wäre die mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] möglich?
Oder bin ich da auf dem falschen Weg??
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen.
Danke.
Delia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Überprüfe die folgende Funktion an der Stelle [mm]x_{0}=1[/mm] auf
> Stetigkeit.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{1+x^{2}}, & \mbox{für }01 \end{cases}[/mm]
> ich weiß leider nicht so recht, wie ich da vorgehen muss.
>
> Ich würde dies mithilfe der Folgenstetigkeit nachweisen.
Hallo,
nun müßtest Du verraten, was Du nachweisen willst, Stetigkeit oder Unstetigkeit?
Für die Stetigkeit mußt Du ja zeigen, daß für JEDE Folge, die gegen 1 konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen 2 konvergiert.
Willst Du Unstetigkeit zeigen, genügt es, wenn Du eine Folge vorweist, die genen 1 konvergiert, für die die Folge der Funktionswerte nicht gegen 2 konvergiert.
> Wäre die mit [mm]\bruch{1}{x}[/mm] möglich?
Ich weiß nicht so genau, was Du meinst. Ich denke, Du willst mit Folgen arbeiten?
Falls Du die durch [mm] x_n:=\bruch{1}{n} [/mm] definierte Folge meinst: die konnst Du nicht nehmen, sie konvergiert ja gegen 0 und nicht gegen 1, was in Deinem Beispiel die zu untersuchende Stelle ist.
Eine Folge, die gegen 1 konvergiert, ware z.B. [mm] x_n:=1-\bruch{1}{n}, [/mm] versuch mal, ob Du mit der weiterkommst
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 06.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
> > Überprüfe die folgende Funktion an der Stelle [mm]x_{0}=1[/mm] auf
> > Stetigkeit.
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{1+x^{2}}, & \mbox{für }01 \end{cases}[/mm]
>
> > ich weiß leider nicht so recht, wie ich da vorgehen muss.
> >
> > Ich würde dies mithilfe der Folgenstetigkeit nachweisen.
>
> Hallo,
>
> nun müßtest Du verraten, was Du nachweisen willst,
> Stetigkeit oder Unstetigkeit?
In der AUfgabenstellung steht nur, dass ich die Stelle auf Stetigkeit überprüfen soll.
> Für die Stetigkeit mußt Du ja zeigen, daß für JEDE Folge,
> die gegen 1 konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen
> 2 konvergiert.
>
> Willst Du Unstetigkeit zeigen, genügt es, wenn Du eine
> Folge vorweist, die genen 1 konvergiert, für die die Folge
> der Funktionswerte nicht gegen 2 konvergiert.
>
> > Wäre die mit [mm]\bruch{1}{x}[/mm] möglich?
>
> Ich weiß nicht so genau, was Du meinst. Ich denke, Du
> willst mit Folgen arbeiten?
>
> Falls Du die durch [mm]x_n:=\bruch{1}{n}[/mm] definierte Folge
> meinst: die konnst Du nicht nehmen, sie konvergiert ja
> gegen 0 und nicht gegen 1, was in Deinem Beispiel die zu
> untersuchende Stelle ist.
>
> Eine Folge, die gegen 1 konvergiert, ware z.B.
> [mm]x_n:=1-\bruch{1}{n},[/mm] versuch mal, ob Du mit der
> weiterkommst
>
> Gruß v. Angela
Ich hab mal versucht mit deinem Tipp zu arbeiten.
Ich würde dann so vorgehen, dass ich die Folge in x bei der Funktion einsetze. Dann erhalte ich folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n}-1}{1+(1-\bruch{1}{n})^{2}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{1}{n}}{2-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
Ist das soweit richtig??
Ab da weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen muss.
Ich kann mir vorstellen, dass ich bestimmt das n irgendwie rauskürzen muss, aber ich weiß nicht wie.
Könntest du mir da bitte nochmals helfen??
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> > nun müßtest Du verraten, was Du nachweisen willst,
> > Stetigkeit oder Unstetigkeit?
>
> In der AUfgabenstellung steht nur, dass ich die Stelle auf
> Stetigkeit überprüfen soll.
Hallo,
ja, das war mir schon klar.
Es ist jedoch gut, wenn einem klar ist, was man zeigen möchte, bevor man den Beweis beginnt, wenn man also schon weiß, ob die Funktion stetig oder unstetig ist.
Das kannst Du hier leicht feststellen:
zeichne die Funktion doch mal, dann siehst Du, ob die 2 der Wert ist, der sich hier an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] lückenlos einfügt.
> > Willst Du Unstetigkeit zeigen, genügt es, wenn Du eine
> > Folge vorweist, die genen 1 konvergiert, für die die Folge
> > der Funktionswerte nicht gegen 2 konvergiert.
> Ich hab mal versucht mit deinem Tipp zu arbeiten.
>
> Ich würde dann so vorgehen, dass ich die Folge in [mm] x_n [/mm] bei der
> Funktion einsetze.
Und zwar, da ja [mm] 1-\bruch{1}{n}< [/mm] 1 ist, in den entsprechenden Abschnitt der Funktion.
Du hast es richtig gemacht.
Aber die Folge [mm] y_n:=1+\bruch{1}{n}>1 [/mm] müßtest Du in den anderen Abschnitt einsetzen.
> Dann erhalte ich folgendes:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n}-1}{1+(1-\bruch{1}{n})^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{1}{n}}{2-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
>
>
> Ist das soweit richtig??
>
> Ab da weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen muss.
Es ist jetz ganz einfach: Du weißt doch, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] =0,
also hast Du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{1}{n}}{2-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{-0}{2-...+...}= [/mm] ???
Und??? Ist das der Funktionswert an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 06.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
> > > nun müßtest Du verraten, was Du nachweisen willst,
> > > Stetigkeit oder Unstetigkeit?
> >
> > In der AUfgabenstellung steht nur, dass ich die Stelle auf
> > Stetigkeit überprüfen soll.
>
> Hallo,
>
> ja, das war mir schon klar.
>
> Es ist jedoch gut, wenn einem klar ist, was man zeigen
> möchte, bevor man den Beweis beginnt, wenn man also schon
> weiß, ob die Funktion stetig oder unstetig ist.
>
> Das kannst Du hier leicht feststellen:
>
> zeichne die Funktion doch mal, dann siehst Du, ob die 2 der
> Wert ist, der sich hier an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] lückenlos
> einfügt.
>
>
> > > Willst Du Unstetigkeit zeigen, genügt es, wenn Du eine
> > > Folge vorweist, die genen 1 konvergiert, für die die Folge
> > > der Funktionswerte nicht gegen 2 konvergiert.
>
> > Ich hab mal versucht mit deinem Tipp zu arbeiten.
> >
> > Ich würde dann so vorgehen, dass ich die Folge in [mm]x_n[/mm] bei
> der
> > Funktion einsetze.
>
> Und zwar, da ja [mm]1-\bruch{1}{n}<[/mm] 1 ist, in den
> entsprechenden Abschnitt der Funktion.
> Du hast es richtig gemacht.
> Aber die Folge [mm]y_n:=1+\bruch{1}{n}>1[/mm] müßtest Du in den
> anderen Abschnitt einsetzen.
>
>
> > Dann erhalte ich folgendes:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n}-1}{1+(1-\bruch{1}{n})^{2}}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{1}{n}}{2-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
> >
> >
> > Ist das soweit richtig??
> >
> > Ab da weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen muss.
>
> Es ist jetz ganz einfach: Du weißt doch, daß
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}[/mm] =0,
>
> also hast Du
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{1}{n}}{2-\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-0}{2-...+...}=[/mm] ???
>
> Und??? Ist das der Funktionswert an der Stelle [mm]x_0=1[/mm] ?
>
> Gruß v. Angela
>
>
Ich würde sagen, nein. Da alle Brüche mit n gegen Null laufen und Null durch 2 ist null. Richtig??
Somit wäre die Funktion unstetig.
Gibt es eigentlich eine einfachere Möglichkeit, Stetigkeit bzw. Unstetigkeit nachzuweisen??
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> Ich würde sagen, nein. Da alle Brüche mit n gegen Null
> laufen und Null durch 2 ist null. Richtig??
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> Somit wäre die Funktion unstetig.
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> Gibt es eigentlich eine einfachere Möglichkeit, Stetigkeit
> bzw. Unstetigkeit nachzuweisen??
Hm - ich finde, die Methoden nehmen sich nicht viel, es ist oft eher eine Geschmackssache, ob man mit Folgen oder mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta [/mm] - Kriterium arbeitet. Was man besser kann, findet man einfacher.
Du hast im Schulforum gepostet, deshalb weiß ich nicht, ob der Grenzwert v. Funktionen dran war. Mit diesem sieht man hier sofort, daß
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x-1}{1+x^{2}}=0/2=0 [/mm] ist, also nicht der Funktionswert, und damit ist die Funktion nicht stetig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 06.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
Danke für die Erklärung.
Wie würde es bei folgender Funktion aus.
Mit der Folgenstetigkeit, würde ich wie folgt vorgehen.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{|x|}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Da würde ich nun die Nullfolge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nehmen. Dies setze ich dann bei x in die Funktion ein und erhalte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{|\bruch{1}{n}|} [/mm]
Und da kürzen sich die n's raus und ich erhalte 1.
Somit wäre diese Funktion stetig.
Ist meine Vorgehensweise so richtig??
Würde dies hier auch mit der Grenzwertbetrachtung funktionieren??
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> Danke für die Erklärung.
>
> Wie würde es bei folgender Funktion aus.
>
> Mit der Folgenstetigkeit, würde ich wie folgt vorgehen.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{|x|}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Da würde ich nun die Nullfolge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nehmen. Dies
> setze ich dann bei x in die Funktion ein und erhalte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{|\bruch{1}{n}|}[/mm]
>
> Und da kürzen sich die n's raus und ich erhalte 1.
>
> Somit wäre diese Funktion stetig.
Nein.
Du mußt Dir unbedingt die Def. für Stetigkeit nochmal sehr genau anschauen.
Es reicht nicht, wenn die Stetigkeitsbedingung für eine Folge erfüllt ist, sondern Stetigkeit im Punkt [mm] x_0 [/mm] bedeutet ja:
Für jede (!!!) Folge, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen [mm] f(x_0).
[/mm]
Das hast Du nicht bewiesen, ledigleich ein Beipiel einer Folge gebracht, für die es klappt.
(Du wirst die Stetigkeit nicht beweisen können, denn die Funktion ist nicht stetig...
Nimm mal die Folge [mm] -\bruch{1}{n}.)
[/mm]
Merke Dir:
Stetigkeit beweisen: das muß für jede beliebige Folge, die gegen den betrachteten Punkt konvergiert, gelten
Stetigkeit widerlegen: eine Folge, für die die Folge der Funktionswerte nicht gegen den Funktionswert konvergiert, reicht zum Widerlegen.
Ich wiederhole meinen Rat v. vorhin: verschaff Dir zunächst einen Eindruck davon, ob die Funktion stetig ist, und führe dann Deinen Beweis.
Wenn man weiß, wohin die Reise geht, weiß man besser, ob man das Sonnentop einpacken sollte oder den Islandpullover...
> Würde dies hier auch mit der Grenzwertbetrachtung
> funktionieren??
Wenn man's richtig macht...
Hier würde man sich zunächst überlegen müssen, wie die Betragsfunktion definiert ist.
Damit hat man dann:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x=0 \mbox{ ungerade} \\ -1, & \mbox{für } x<0 \mbox{}\end{cases},
[/mm]
und damit erübrigt sich schon die Berechnung v. Grenzwerten, weil man es direkt sieht.
Gruß b. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 06.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
> Hier würde man sich zunächst überlegen müssen, wie die
> Betragsfunktion definiert ist.
>
> Damit hat man dann:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x=0 \\ -1, & \mbox{für } x<0 \mbox{}\end{cases},[/mm]
>
> und damit erübrigt sich schon die Berechnung v.
> Grenzwerten, weil man es direkt sieht.
>
> Gruß b. Angela
Hallo,
wenn ich die Stetigkeit mithilfe des Grenzwertes nachweisen würde und dazu deinen Tipp mit der Betragsfunktion benutze, würde ich so vorgehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0, x<0} \bruch{x}{|x|}=\bruch{0}{-1}=0 \not= [/mm] 1
[mm] \limes_{x\rightarrow 0, x>0} \bruch{x}{|x|}=\bruch{0}{1}=0 \not= [/mm] 1
Ist es so richtig?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Delia
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0, x<0} \bruch{x}{|x|}=\bruch{0}{-1}=0 \not=[/mm]
> 1
Nein, das stimmt so nicht. Der Grenzwert, wenn Du von unten kommst, ist -1, denn es ist
[mm] \limes_{x\rightarrow 0, x<0} \bruch{x}{|x|}=\limes_{x\rightarrow 0, x<0} \bruch{x}{-x}=\limes_{x\rightarrow 0, x<0} [/mm] (-1) =-1
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0, x>0} \bruch{x}{|x|}=\bruch{0}{1}=0 \not=[/mm]
> 1
Entsprechend ist hier der Grenzwert 1.
Gruß v. Angela
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