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Hallo! Ich soll bestimmen, ob die Funktionen stetig sind, oder nicht.. Dies wollte ich mit dem folgenden Kriterium machen: [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] f(x) = f(x0). Dies soll ich für foglende Funktion bestimmen:
[mm] f(x)=\begin{cases}\wurzel{1-x} , & \mbox{für } |x| \le 1 \\ x, & \mbox{für } |x|>1 \mbox{ } \end{cases}. [/mm] Um nun die Stetigkeit zu überprüfen, habe ich folgendes gemacht: [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} \wurzel{1-x}=0 [/mm] .. es soll aber x rauskommen oder? Denn es soll ja f(x0) rauskommen und das ist doch gleich x0. Ich bin irgendwie verwirrt, wär super, wenn mir da jmd. weiterhelfen könnte! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mo 03.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Deine kritischen Punkte sind ja 1 und -1. Desswegen musst du in diesen Punkten die Stetigkeit nachweisen. Dass die Funktion in allen anderen Punkten stetig ist, folgt aus einigen Sätzen, die ihr sicherlich in der Vorlesung gemachtg habt, zum Beispiel Polynome sind Stetig, Wurzelfunktion ist stetig, Komposition stetiger Funktionen ist stetig.
Aber nun zu den kritischen Punkten, es muss der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich sein.
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}\wurzel{1-x}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1+}x=1
[/mm]
Beide Grenzwerte sind ungleich, also ist die Funktion unstetig.
Ach ja: Schreib doch bitte mal deinen Studiengang in dein Profil. Das ist nämlich die Definition von Stetigkeit für Ingenieure ^^.
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Dankeschön! Aber warum ist der [mm] \limes_{x\rightarrow\(1-)} [/mm] = 0? Ich dachte, dass da [mm] \wurzel{2} [/mm] herauskommt, denn [mm] \wurzel{1-(-1)} [/mm] macht doch [mm] \wurzel{2}, [/mm] oder bin ich da auf dem total falschen Nenner? Und was ist denn in dem Fall mein x0? und was mein f(x0)? *verwirrtsei*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 03.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Wir haben gesagt [mm] x\rightarrow1-
[/mm]
1- ist nicht das selbe wie -1.
1- bedeutet, dass sich der Wert x an die 1 annähert, aber von links, also immer noch kleiner als 1 ist.
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Hallo! Ich habe noch eine Verständnisfrage zur Stetigkeit, die mir nicht ganz klar ist. Wieso kann ich daraus schließen, dass die WUrzelfunktion [mm] \wurzel{1-x^{4}} [/mm] für Betragx [mm] \le [/mm] 1 stetig ist, weil sie eine Umkehrfunktion von Potenzfunktionen ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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