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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 02.01.2005 | | Autor: | beauty |
Hey!
Verstehe diese Aufgabe nicht und hoffe das mir jemand hilft.
Die Funktion f:[0,1]->R sei gegeben durch f(x)=inf{/nx-1/ n ist Element von N} . Man soll nun alle Punkte [mm] x_0 [/mm] Element von [0,1] angeben, in denen f stetig ist.(mit Beweis)
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
Ich habe ein bisschen mit meine Graphischen TR herumgespielt und
die Graphen der Funktionen ¦x-1¦, ¦2x-1¦, ¦3x-1¦, ¦4x-1¦ im Intervall [0,1]
gezeichnet.
Diese sind alle Stetig, also ist auch das Infimum dieser 4 Funktionen stetig. Es gibt eine "Zickzack-Kurve". Was passiert, wenn jetzt neu n=5 dazukommt?
Im Bereich [mm][\bruch{1}{4},1] [/mm] sind die Funktionswerte grösser, als diejenigen der Funktion ¦4x-1¦ (das lässt sich sicher auch formal beweisen). Das heisst, das ¦5x-1¦ keinen Einfluss aus das Infimum hat im Bereich [mm][\bruch{1}{4},1] [/mm].
Das gleiche Argument liefert, das die zu untersuchende Funkiton stetig ist im Bereich [mm][\bruch{1}{n},1][/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], also ist sie stetig im Bereich (0,1]. Tatsächlich ist sie für x=0 unstetig, weil hier der Funktionswert 1 ist, und für alle n sind die Funktionswerte bei [mm]x=\bruch{1}{n}[/mm] gleich 0.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 02.01.2005 | | Autor: | beauty |
Erstmal Danke für deine Hilfe!!
Aber mein Problem ist das ich nie weiß wie ich das formal aufschreiben soll.
Kannst du mir vielleicht dabei weiter helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
Gut ein bisschen formaler (obwohl man es nicht besser versteht!)
Sei [mm]f_n(x)=|nx-1|[/mm] und [mm]f(x)=\inf\{f_n(x)\,|\, n\in\IN\}[/mm].
i) Beh.: Ist [mm]x\geq\frac1n[/mm], dann gilt für m>n [mm]f_m(x)>f_n(x)[/mm].
Bew.: Wenn x grösser oder gleich [mm]\frac1n[/mm], dann ist nx-1
nicht negativ und wegen m>n ist [mm]f_m(x)=mx-1>f_n(x)=nx-1\geq 0[/mm].
ii) Sei [mm]x\geq\frac1n[/mm], dann ist also [mm]\inf\{f_m(x)\,|\,m\in\IN\}= \min\{f_m(x)\,|\,m\in\{1,\ldots,n\}\}[/mm].
iii) Das Minimum von endlich vielen stetigen Funktionen ist stetig
(folgt aus: das Minimum zweier stetiger Funktionen ist stetig).
Deshalb ist [mm]f|_{[\frac1n,1]}[/mm] stetig. Das gilt aber für alle n.
Deshalb ist [mm]f|_{(0,1]}[/mm] stetig.
iv) Im Punkt x=0 ist f(x) nicht stetig. Denn für alle n gilt
[mm]f_n(0)=1[/mm], also auch f(0)=1. Hingegen ist
[mm]f_n(\frac1n)=0[/mm], also auch
[mm]f(\frac1n)=0[/mm]. Für die gegen 0 konvergierende Folge
[mm]a_n=\frac1n[/mm] gilt [mm]\lim_{n\to\infty}f(a_n)\not=f(0)[/mm].
Beachte auch, wir haben die Funktionswerte von f nur für wenige Argumente x bestimmt. Es war nicht nötig die Funktionswerte für alle x zu bestimmen, da es nur um die Stetigkeit von f ging.
mfG Moudi
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