Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Sa 03.03.2007 | | Autor: | dhn.tony |
Hm, ich stehe grad auf dem Schlauch, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen. Sei [mm] f:\IR^{2}\to\IR. [/mm] Falls für alle y [mm] g_{y}(x) [/mm] := f(x, y) und für alle x [mm] h_{x}(y) [/mm] := f(x, y) jeweils auf [mm] \IR [/mm] stetig sind, ist f dann auch auf [mm] \IR [/mm] stetig? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 04.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Ja, das folgt aufgrund der Dreiecksungleichung.
Stetigkeitsdefinition in deinem Falle an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0})
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \forall (x_{1},y_{1}) [/mm] mit
[mm] |(x_{0},y_{0}) [/mm] - [mm] (x_{1},y_{1})|< \delta [/mm] auch
[mm] |f(x_{0},y_{0}) [/mm] - [mm] f(x_{1},y_{1})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt
[mm] |f(x_{0},y_{0}) [/mm] - [mm] f(x_{1},y_{1})| [/mm] = [mm] |f(x_{0},y_{0}) [/mm] - [mm] f(x_{0},y_{1}) [/mm] + [mm] f(x_{0},y_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{1},y_{1}) [/mm] | [mm] \le |f(x_{0},y_{0}) [/mm] - [mm] f(x_{0},y_{1})| [/mm] + [mm] f(x_{0},y_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{1},y_{1}) [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm]
d.h. du brauchst [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] nur bei den koordinatenfixierten Funktionen entsprechend halb so groß wählen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 So 04.03.2007 | | Autor: | dhn.tony |
Hallo wauwau, das stimmt!  Ich glaube, dass man eine allgemeine Aussage zu diesem Thema mit gleichmäßiger Stetigkeit und Vertauschung von Limes beweisen kann.
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