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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit
Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Fr 19.05.2006
Autor: klaus_84

Aufgabe
Sei  [mm] \alpha [/mm] > 1 fest vorgegeben und  D= {x1, x2}  [mm] \in R^{2}: [/mm] |x2|  [mm] \le |x1|^{alpha} [/mm] eine Teilmenge des R2. Zeigen Sie, dass die folgendes Funktion f: D --> R2 im Nullpunkt stetig ist.

f(x1, x2) = [mm] (x1x2)/(x1^{2} [/mm] + [mm] x2^{2}) [/mm] für (x1, x2) [mm] \in [/mm] D ohne (0,0); 0 für (x1, x2) = (0,0)



Hallo,
ich kann ohne diese "alpha"-Einschränkung leicht zeigen, dass diese Funktion im Nullpunkt unstetig wäre.
(Mit Hilfe der Folgenstetigkeit und [mm] x_{n} [/mm] = [mm] (t_{n}, t_{n}), t_{n} [/mm] --> 0, [mm] t_{n} \not= [/mm] 0)

Warum ändert sich die Stetigkeit nun, wenn ich x2 derart durch x1 beschränke?

Danke, klaus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 So 21.05.2006
Autor: nakedapples

Natürlich stimmt es, dass ohne die Einschränkung keine Stetigkeit gegeben ist. Aber eben in dieser Einschränkung liegt die Crux, denn es gilt:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und  [mm] \delta [/mm] := [mm] (\varepsilon)^{1/\alpha-1}. [/mm] Dann gilt

| f(x,y) | = |x|*|y| / [mm] |x^2+y^2| \le [/mm] |x|*|y| / [mm] |x|^2 [/mm] = |y| / |x| < [mm] |x|^{\alpha-1} [/mm] < [mm] \delta^{\alpha-1} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]

für alle x,y [mm] \in [/mm] D mit [mm] \parallel [/mm] (x,y) [mm] \parallel \le \delta. [/mm]

Ich hoffe, das war ausführlich genug.

Viel Spaß weiterhin,
Michael

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 So 21.05.2006
Autor: klaus_84

Vielen Dank.
Manchmal sehe ich den Wald (bzw. die Lösung) vor lauter Bäumen (bzw. Kriterien für Steitgkeit) nicht.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 So 21.05.2006
Autor: klaus_84

Aufgabe
Du zeigst, dass der Funktionswert kleiner Epsilon ist, wenn || (x,y) || kleiner delta.


Warum folgt daraus Stetigkeit?
Ich kenne Stetigkeit als

|| a - b || < delta   --->   || f(a) - f(b) || < Epsilon .

Klaus.

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Ok
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:13 So 21.05.2006
Autor: klaus_84

Alles klar, jetzt hab ich's.

Bezug
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