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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Man zeige: Jede Funktion h: R²->R der Form h(x,y) = g(x,y) [mm] \bruch{xy}{x²+y²} [/mm] für x²+y²>0 und h(0,0) ist stetig, wenn g stetig ist mit g(0,0)=0. |
HI!
versteh bei dieser aufgabe den letzten schritt nicht:
klar ist, dass h stetig ist auf R²\ {(0,0)}, da g und f stetig sind auf R²\ {(0,0)}
dann kann man abschätzen:
(x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
0 [mm] \le [/mm] (x-y)² = x²-2xy+y²
2xy [mm] \le [/mm] x²+y²
[mm] \bruch{xy}{x²+y²} \le \bruch{1}{2}
[/mm]
für 0 [mm] \le [/mm] (x+y)² analog, man bekommt:
[mm] \bruch{xy}{x²+y²} \ge -\bruch{1}{2}
[/mm]
das bedeutet
| [mm] \bruch{xy}{x²+y²} [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{2}
[/mm]
d.h. [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} [/mm] |h(x,y)| = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} [/mm] | g(x,y) f(x,y)|
[mm] \le \bruch{1}{2} \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} [/mm] |g(x,y)| = 0 = h(0,0)
diese abschätzung versteh ich nicht!!??
f(x,y) ist ja kleiner 1/2, aber warum darf man im limes dann einfach das f(x,y) weglassen...???
und weil g(0,0) = 0(voraussetzung) geht der limes gegen 0, und weil das gleich dem funktionswert von h(0,0) ist, ist das ganze dann stetig auf R²??
viele grüße
riley
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Hallo riley,
> d.h. [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}[/mm] |h(x,y)| =
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}[/mm] | g(x,y) f(x,y)|
>
> [mm]\le \bruch{1}{2} \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}[/mm] |g(x,y)|
> = 0 = h(0,0)
> diese abschätzung versteh ich nicht!!??
Da [mm] f(x,y)\leq \frac{1}{2} [/mm] gilt, gilt doch dann auch
[mm] |g(x,y)\cdot f(x,y)|\leq \frac{1}{2}\cdot [/mm] |g(x,y)|, und
dann zieht man den Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] raus.
Gruss,
Mathias
> f(x,y) ist ja kleiner 1/2, aber warum darf man im limes
> dann einfach das f(x,y) weglassen...???
>
> und weil g(0,0) = 0(voraussetzung) geht der limes gegen 0,
> und weil das gleich dem funktionswert von h(0,0) ist, ist
> das ganze dann stetig auf R²??
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> viele grüße
> riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Di 16.05.2006 | | Autor: | Riley |
achso ja, dankeschön für deine erklärung! :)
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