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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Oche |
Also, ich habe folgendes Problem:
eine Funktion f :R nach R beschränkt auf [-1,1]
zu zeigen:
g(x) = x*f(x) ist stetig im Nullpunkt.
Kann mir bitte jemand helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Oche!
Du musst zeigen:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ mit [mm] $|x|=|x-0|<\delta$ [/mm] die Beziehung
$|g(x)| = |g(x) - g(0)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
folgt (beachte hier: $g(0)=0$).
Es sei also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Dann folgt zunächst für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$:
(*) $|g(x)| = |x f(x)| = |x| [mm] \cdot [/mm] |f(x)| [mm] \le [/mm] |x| [mm] \cdot \sup\limits_{x \in [-1,1]} [/mm] |f(x)|$.
Da nach Voraussetzung $f$ auf $[-1,1]$ beschränkt ist, gilt:
$C:= [mm] \sup\limits_{x \in [-1,1]} [/mm] |f(x)| < [mm] \infty$.
[/mm]
Wie muss man nun [mm] $\delta>0$ [/mm] wählen, damit aus [mm] $|x|<\delta$ [/mm] die Beziehung
$C [mm] \cdot [/mm] |x| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
und damit wegen (*) auch
$|g(x)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
folgt?
Hast du einen Vorschlag? Dann melde dich. (Wenn nicht, dann bitte auch.  )
Liebe Grüße
Julius
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