Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 08.01.2014 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Gegeben:
$X$ Banachraum
$f:[0,T] [mm] \times [/mm] M [mm] \rightarrow [/mm] X$
wobei $[0,T] [mm] \times [/mm] M [mm] \subset [/mm] [0,T] [mm] \times [/mm] X$
Was bedeutet folgendes:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0\ [mm] \forall t_0 \in [/mm] [0,T] \ [mm] \exists \delta [/mm] = [mm] \delta(\epsilon, t_0)>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,T], \ [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] M : [mm] \vert [/mm] t - [mm] t_0 \vert [/mm] + [mm] \| [/mm] v-w [mm] \|_X [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \| [/mm] f(t,v) - [mm] f(t_0, w)\|_X [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] |
Hallo liebe Gemeinschaft,
die Definition der Stetigkeit einer zweiparametrigen Funktion habe ich folgendermassen gelernt:
f ist auf $M$ stetig, falls gilt:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0\ [mm] \forall t_0 \in [/mm] [0,T], \ [mm] \forall v_0 \in [/mm] M \ [mm] \exists \delta [/mm] = [mm] \delta(\epsilon, t_0, v_0)>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,T] \ [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] M : [mm] \vert [/mm] t - [mm] t_0 \vert [/mm] + [mm] \| v-v_0 \|_X [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \| [/mm] f(t,v) - [mm] f(t_0, v_0)\|_X [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Bedeutet die Definition in der Aufgabenstellung, dass die Funktion f bzgl. des 1. Arguments stetig und bzgl. des 2. Arguments gleichmaessig stetig ist?
Besten Dank fuer eure Antwort im Voraus!
ilfairy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben:
> [mm]X[/mm] Banachraum
> [mm]f:[0,T] \times M \rightarrow X[/mm]
> wobei [mm][0,T] \times M \subset [0,T] \times X[/mm]
>
> Was bedeutet folgendes:
> [mm]\forall \epsilon > 0\ \forall t_0 \in [0,T] \ \exists \delta = \delta(\epsilon, t_0)>0 \ \forall t \in [0,T], \ \forall v,w \in M : \vert t - t_0 \vert + \| v-w \|_X < \delta \Rightarrow \| f(t,v) - f(t_0, w)\|_X < \epsilon[/mm]
>
> Hallo liebe Gemeinschaft,
>
> die Definition der Stetigkeit einer zweiparametrigen
> Funktion habe ich folgendermassen gelernt:
> f ist auf [mm]M[/mm] stetig, falls gilt:
> [mm]\forall \epsilon > 0\ \forall t_0 \in [0,T], \ \forall v_0 \in M \ \exists \delta = \delta(\epsilon, t_0, v_0)>0 \ \forall t \in [0,T] \ \forall v \in M : \vert t - t_0 \vert + \| v-v_0 \|_X < \delta \Rightarrow \| f(t,v) - f(t_0, v_0)\|_X < \epsilon[/mm]
>
> Bedeutet die Definition in der Aufgabenstellung, dass die
> Funktion f bzgl. des 1. Arguments stetig und bzgl. des 2.
> Arguments gleichmaessig stetig ist?
So ist es.
Edit: f ist bzgl. des 1. Arguments stetig in [mm] t_0 [/mm] und bzgl. des 2. Arguments gleichmäßig stetig auf M.
FRED
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> Besten Dank fuer eure Antwort im Voraus!
>
> ilfairy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 08.01.2014 | | Autor: | ilfairy |
Vielen Dank, lieber Fred!
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