Stetige Verteilung mit Dichte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 18.07.2014 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Die reellwertige Zufallsvariable X habe eine absolut stetige Verteilung mit Dichte fx: [mm] \IR \to [/mm] [0, [mm] \infty),
[/mm]
fx(x) = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] x^2(x+1) [/mm] * [mm] 1_{[-1,1]} [/mm] (x)
Berechnen Sie P([X [mm] \ge [/mm] 0]), E(X), Var(X). Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von [mm] F_{x} [/mm] von X |
Liebe Forenteilnehmer,
Den Erwartungswert und die Varianz habe ich so ausgerechnet.
E(X) = [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] * x * [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] * (x+1) dx
...
E(X) = 0.6
[mm] E(X^2) [/mm] analog mit [mm] E(X^2) [/mm] = 0.6
Var(X) = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] (E(X))^2 [/mm] = 0.6-0.36=0.24
Ist das soweit korrekt?
Wie berechne ich hier P([X [mm] \ge [/mm] 0])?
Brauche auch Hilfe bei der Verteilungsfunktion.
Die Verteilungsfunktion verläuft nur zwischen - 1 und 1, richtig? Außerhalb ist sie immer 0. Nur wie zeichne ich diese Kurve?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Fry |
Hey,
also dein Ansatz für die Berechnung stimmt!
[mm]P(X\ge 0)=1-P(X<0)[/mm]
Letztere Wkeit kannst du dann über die Verteilungsfunktion bestimmt
[mm]F(t):=P(X\le t)[/mm] mit [mm]t\in\mathbb R[/mm]
Also deine Aussage trifft für die Dichtefunktion zu: Die ist außerhalb des Intervalls [-1,1] =0.
Dies kann ja gar nicht auf F zutreffen, weil für wachsendes t entweder nicht oder etwas Positives hinzukommt, also F ist monoton wachsend, im Falle absolut stetig verteilter Zufallsgrößen sogar sreng monoton wachsend. Ferner muss [mm]\lim_{t\to -\infty}F(t)=0[/mm] und [mm]\lim_{t\to\infty}F(t)=1[/mm] sein.
Für den absolut stetigen Fall gilt ja [mm]F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx[/mm] für [mm]t\in\mathbb R[/mm]
Also: [mm]F(t)=0[/mm] für [mm]t<-1[/mm] und [mm]F(t)=1[/mm] für [mm]t>1[/mm]
und für [mm]-1\le t\le 1[/mm] musst noch das Integral genau ausrechnen.
Zur Überprüfung kannst du dann auch schauen, ob tatsächlich [mm]F(-1)=0[/mm] und [mm]F(1)=1[/mm] (dies muss gelten, da F stetig ist).
LG
Fry
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