Stetige Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
wer kann mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?
Es seien a < b und f: [a, b] ---> R eine stetige Funktion. Zeigen Sie:
a) Gilt f(x) e [a, b] für alle [a, b], so existiert ein x* e [a, b] mit f(x*) = x*.
Hinweis: Betrachten Sie g(x) := f(x) - x, x e [a, b].
b) Gilt f(x) > 0 für alle x e [a, b], so existiert ein x* e [a, b] mit
1 / f(x) <= 1/ f(x*), x e [a, b].
ich bin dankbar für jeden tipp.
peitsche 84
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Hallo!
Naja, bei a) steht der entscheidende Hinweis doch schon dort... man überlegt sich leicht:
Hat man ein $y [mm] \in [/mm] [a,b]$ gefunden mit $g(y) = 0$, so folgt $f(y) - y = 0$ bzw. $f(y) = y$.
Also suchen wir Nullstellen von $g$. Falls $f(a) = a$ oder $f(b) = b$, so sind wir schon fertig, andernfalls gilt doch $f(a) > a$ und $f(b) < b$, da der Bildbereich ebenfalls $[a,b]$ ist.
Was folgt daraus für $g$? Welchen Satz kann man dann anwenden, um eine Nullstelle zu finden?
b)
Die Bedingunge ist doch äquivalent zu $f(y) [mm] \leq [/mm] f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$. Auch dafür gibt es einen Satz über stetige Funktionen und abgeschlossene Intervalle...
Lars
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