Stetige Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei g : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durc
g(x) = [mm] \frac{x^2 -x}{x^2 -3x +2} [/mm] für x [mm] \not\in \IN [/mm]
[mm] \frac{4x -6}{x+1} [/mm] für x [mm] \in \IN
[/mm]
Bestimmen sie alle Stetigkeitsstellen von g. |
Hi,
was will die Aufgabe von mir ? Muss ich all diejenigen Punkte x finden für die gilt :
[mm] \limes_{n\rightarrow x} [/mm] g(n) = b [mm] \in \IR?
[/mm]
Snafu
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Hiho,
nein, du sollst alle Stellen bestimmen, an denen g stetig ist.
Forme dazu den ersten Bruch ein wenig um (ausklammern, kürzen etc, Definitionslücken beachten!).
Überlege dir dann, wo g auf jeden Fall stetig ist und wo es Probleme geben könnte und wo das Problem sich dann in wohlgefallen auflöst 
MFG,
Gono.
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Hi,
dafür muss ich doch dann gucken wo [mm] \limes_{x\rightarrow n} [/mm] f(x) = f(n) gilt oder?
Wenn ich den oberen Bruch vereinfache bekomme ich [mm] \frac{x-1}{x-3+\frac{1}{x}}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau wie ich vorgehen soll. Soll ich nun den Term gegen einen Wert x gehen lassen und gucken ob er gleich ist mit dem Bild f(x)ist?
Snafu
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Hiho,
> dafür muss ich doch dann gucken wo [mm]\limes_{x\rightarrow n}[/mm]
> f(x) = f(n) gilt oder?
Ja, aber wieso wählst du hier n? Vermutlich willst du das für [mm] $n\in\IN$ [/mm] machen.
Was ist denn mit [mm] \IR\setminus\IN [/mm] ?
Was weisst du dort über die Funktion?
> Wenn ich den oberen Bruch vereinfache bekomme ich
> [mm]\frac{x-1}{x-3+\frac{1}{x}}[/mm]
Ja, aber sehr sehr sehr sehr sehr sehr ...... unschön.
Viel besser wär es doch, die (x-1) zu kürzen
Überprüf dazu, dass du den Nenner schreiben kannst als $(x-1)*(...)$
MFG,
Gono.
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Hi,
> dafür muss ich doch dann gucken wo [mm]\limes_{x\rightarrow n}[/mm]
> f(x) = f(n) gilt oder?
> Ja, aber wieso wählst du hier n? Vermutlich willst du das für [mm] $n\in\IN$ [/mm]
> machen.
So haben wir Stetigkeit definiert:
f ist in n stetig wenn gilt [mm] \limes_{x\rightarrow n} [/mm] f(x) = f(n)
> Viel besser wär es doch, die (x-1) zu kürzen
wenn ich Polynomdivision anwende : x - 3 + [mm] \frac{1}{x} [/mm] :(x-1) endet die Rechnung nicht, und ich bekomme [mm] \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{x^n}) [/mm] + [mm] \frac{2}{x-1} [/mm] raus??
Snafu
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Hallo,
[mm] \bruch{x^2-x}{x^2-3x+2}=\bruch{x*(x-1)}{(x-1)*(x-2)}=...
[/mm]
Lg
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Hi,
ok damit habe ich für x [mm] \in \IR [/mm] ohne [mm] \IN [/mm] : g(x) = [mm] \frac{1}{1- \frac{2}{x}}
[/mm]
Nach was muss ich jetzt genau gucken? Ich suche doch all diejenigen x-Werte für die g(x) stetig ist. Wie suche ich nach ihnen? Muss ich gucken für welche x der Term konvergiert und für welche nicht?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schreibst du das so schrecklich besser wär doch
f(x)= x/(x-2) das ist überall stetig auf [mm] \IR [/mm] ausser für x=2
(und da du gekürzt hast für x=1 aber das sind ja ganze Zahlen. also musst du jetzt noch die Stetigkeit für alle x=n untersuchen.
Gruss leduart
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Hi,
ich dachte ich muss das ganz korrekt mit dem Stetigkeitssatz beweisen?
Ich weiß nicht, ob ich einfach sagen darf f(x) = x und g(x)= x-2 sind stetig => [mm] \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] ist stetig ?
Snafu
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Hiho,
ich denke schon, dass du das so kannst.
Es geht in der Aufgabe schließlich nicht darum, die Stetigkeitssätze zu beweisen, sondern die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht in den [mm] $x_0 \in \IN$, [/mm] denn dort ist die Funktion im Allgemeinen nicht stetig.
MFG,
Gono.
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Hi,
hab mir mal einen ganz anderen Ansatz überlegt. Es geht bei der Stetigkeit doch darum das g(x) kein Sprünge macht. D.h. doch für dieses g(x), dass der obere Bruch, wenn man ihn gegen ein z [mm] \in \IN [/mm] laufen lässt, als Grenzwert genau g(z) (also z in den untern Bruch eingesetzt ) rauskommen soll.
D.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \limes_{x\rightarrow z} \frac{x^2 -x}{x^2 -3x +2} [/mm] = [mm] \frac{4z -6}{z+1}
[/mm]
folgt daraus nicht einfach eine Gleichung , wo man beide Brüche gleichsetzt, wo dann x [mm] \in [/mm] {1,4} rauskommt?
Snafu
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Hiho,
erstmal meinst du ganz sicherlich, dass da [mm] \forall{x_0 \in \IR} [/mm] steht und dann gelten muss: [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0)$
[/mm]
Generell ist das kein Problem für alle [mm] $x_0\in\IR\setminus\IN$, [/mm] das hast du aber noch nicht begründet, warum das so ist!
Bleiben also die [mm] $x_0 \in \IN$ [/mm] und ja, da muss genau die Gleichung gelten, die du aufgeschrieben hast und ja man kann das dann so ausrechnen.
Allerdings ist die Vereinfachung, die wir dir vorher genannt haben, hilfreich um den Grenzwert auszurechnen.
MFG,
Gono.
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Hi,
> erstmal meinst du ganz sicherlich, dass da [mm] \forall{x_0 \in \IR} [/mm] steht und dann gelten muss: [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0)$
[/mm]
genau das meine ich! :)
> Generell ist das kein Problem für alle [mm] $x_0\in\IR\setminus\IN$, [/mm] das hast du aber noch nicht begründet, warum das so ist!
Ja, genau. Das war ja glaube vorher auch die ganze Zeit meine Frage gewesen wie ich [mm] \lim_{x\to x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0) \forall x_0 \in\IR\setminus\IN [/mm] zeige.
Ich habe durch die Umformung raus:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in\IR\setminus\IN [/mm] : g(x) = [mm] \frac{x}{x-2} [/mm]
wenn man [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] g(x) hat, heißt das doch nichts anderes, als dass ich [mm] x_0 [/mm] in g(x) einsetzt und gucke was rauskommt? Das kann aber nicht die Lösung sein, weil ja dann immer [mm] \lim_{x\to x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] erfüllt wäre...
hier komme ich nicht weiter...
Snafu
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Hiho,
> wenn man [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm] g(x) hat, heißt das
> doch nichts anderes, als dass ich [mm]x_0[/mm] in g(x) einsetzt und
> gucke was rauskommt?
Vorsichtig! Dabei verwendest du die Stetigkeit, denn wenn du das machst, nutzt du ja gerade:
[mm]\limes_{x\rightarrow x_0} g(x) = g(\limes_{x\rightarrow x_0} x) = g(x_0)[/mm].
Aber das geht ja gerade NUR bei stetigen Funktionen!
Du betrachtest dir [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] g(x)$ als Folge von Funktionswerten und schaust, ob diese Folge den Wert [mm] g(x_0) [/mm] als Grenzwert hat!
Dass du nachher in der Bildungsvorschrift von g(x) $x [mm] \to x_0$ [/mm] laufen lässt und feststellt, dass da wirklich [mm] g(x_0) [/mm] herauskommt, sagt dir einfach nur, dass die Funktion auf [mm] \IR\setminus\IN [/mm] stetig ist!
Dein "Einsetzungsverfahren" scheitert schon an Funktionen wie:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 1, &x = 0 \\ \bruch{\sin(x)}{x}, & \mbox{ sonst} \end{cases}$
[/mm]
Betrachten wir hier
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}$
[/mm]
und würden jetzt einfach "einsetzen" wie von dir vorgeschlagen, stünde da ja:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\sin(0)}{0} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}$ [/mm] und nu?
Ich hoffe du verstehst, dass zwischen "Einsetzen" und "Grenzwert ausrechnen" doch noch ein kleiner Unterschied besteht....... bei deinem g(x) allerdings für [mm] \IR\setminus\IN [/mm] nicht, da ist es so einfach, du musst halt nur begründen, WARUM der Grenzwert existiert und nicht so komische Dinge wie bei meinem f passieren können.
MFG,
Gono.
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Hi,
ich kann zwar einigermaßen das nachvollziehen, was du schreibst, aber wenn ich jetzt zeigen soll, wieso g(x) eben stetig ist für reelle Zahlen, weiß ich nicht wie ich verfahren soll. Das einzige was mir einfällt, ist zu sagen: Da Nenner und Zähler stetige Fkt. sind, und Kompositionen von stetigen Fkt. wieder stetige Fkt ergeben, folgt dass g(x) stetig ist. Aber das soll man doch bestimmt rein formell zeigen können?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Fr 21.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hat man irgendwann sicher schon in der Vorlesung 8oder Übung) gemacht, darf es also zitieren.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 21.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. deine ursprüngliche fkt ist überall stetig ausser in x=1 und x=2
bei 1 hat sie den GW -1, das ist auch der Wert der fkt auf N bei 1. also ist sie auch da stetig.
bei x=2 ist der GW unendlich bzw, existiert nicht, aber die fkt auf n ist endlich. d.h. die fkt ist bie 2 unstetig.
bei 4 hast du richtig raus, dass die fkt auch stetig ist. an allen anderen Stellen [mm] x\in \IN [/mm] ist sie unstetig, (Sprungstellen) im restlichen R ist sie stetig als Quotient stetiger fkt. mit nennerfkt ungleich 0.
Fertig.
Gruss leduart
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