Stetige Behebbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Fr 06.04.2007 | | Autor: | otnop |
Hey!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe gerade ein kleines Verständnisproblem. Ich weiß, wie ich Polstellen von Lücken unterscheide, wenn ich denn dann aber eine Lücke herausgefunden habe, weiß ich nicht, wie ich sie beschreiben soll.
1. Welche Vorraussetzungen müssen gegeben sein, dass sie behebbar ist?
2. Wie finde ich heraus, ob sie stetig behebbar ist oder nicht?
Das kann doch nicht nur mit der Steigung in der unmittelbaren Umgebung der Lücke zu tun haben oder?
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Hi, ich vermute dass es Dir um gebrochenrationale Funktionen geht. Die Def. Lücke ist behebbar wenn du die entsprechenden Terme im Zähler und Nenner so kürzen kannst, dass die Stelle nicht mehr Nulstelle des Nenners ist.
In diesem Fall ist sie auch stetig behebbar. Zu zwei vielleicht verwechselst Du differenzierbar mit stetig? oder?
bis dann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:29 Fr 06.04.2007 | | Autor: | otnop |
Hey, danke für die schnelle Antwort!
Ja, es geht um gebrochen-rationale Funktionen.
Beim Kürzen schießt mir jetzt glatt das Problem, nicht aus Summen kürzen zu können ins Auge.
Angenommen wir haben die noch sehr simple Funktion
f(x) = [mm] 2/(x^2-9)
[/mm]
schon auf den ersten Blick wird deutlich, dass die Funktion offensichtlich Polstellen bei
x1 = -3
x2 = 3
besitzt, da der Nenner Null wird.
Der Zähler kann hier aufgrund der Konstanten nicht null werden, d. h. es ist nun definitiv eine Polstelle und keine Lücke.
Haben wir aber die Funktion
f(x) = [mm] (x-2)/(x^2-4)
[/mm]
so ist nach dem Null setzen des Nenners -2 eine Polstelle, da sie den Zähler nicht Null macht. +2 ist aber auch ein Ergebnis der Quadratwurzel aus 4 und bringt auch den Zähler zu Null.
Die Frage ist hier nun, ob diese Lücke behebbar oder stetig behebbar ist.
Die Terme so zu kürzen, dass die Stelle nicht mehr Nullstelle des Nenners ist, kann ich doch hier aufgrund der Summen nicht.
Differenzierbar wäre ja im Prinzip agbeleitet. Ich glaube stetig hängt mit etwas anderem zusammen und hat eine andere Begründung, aber ich weiß die Lücke gerade nicht auf Stetigkeit zu untersuchen und zu begründen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:42 Fr 06.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
> Hey, danke für die schnelle Antwort!
>
> Ja, es geht um gebrochen-rationale Funktionen.
> Beim Kürzen schießt mir jetzt glatt das Problem, nicht aus
> Summen kürzen zu können ins Auge.
Du sollst nicht "aus" Summen kuerzen, sondern durch Summen.
und [mm] \bruch{x+2}{(x+2)*(x-2)} [/mm] kann man fuer alle [mm] x\ne [/mm] -2 durch x+2 kuerzen.
dann ist die fkt ueberall, ausser bei x=-2 durch [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] richtig beschrieben. fuer x=-2 hat sie ne Luecke, die man aber schliessen kann mit [mm] f(-2)=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Dann hat man die Luecke stetig behoben, da die funktion fuer x gegen -2 auch gegen [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] strebt.
falls du f(-2)-0 schreibst hast du keine stetige Funktion, sondern eine mit ner Sprungstelle.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:29 Fr 06.04.2007 | | Autor: | otnop |
Hey!
Das hat mir sehr geholfen, danke!
2 Kleinigkeiten noch:
1. was meinst du mit: f(-2)-0
2. gibt es noch andere Möglichkeiten wie, nur behebbar, aber nicht stetig behebbar? Muss dann vlt, nach Einsetzen der Lücke als x in die Funktion = Null herauskommen, statt hier -1/4?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:36 Fr 06.04.2007 | | Autor: | otnop |
Da fällt mir gerade noch was ein:
Es ist doch allgemein so, dass wenn der Nenner einer Funktion durch ein bestimmtes x Null ergibt, diese eine Polstelle ist.
Setzt man dieses x auch in den Zähler ein und ergibt dieser ebenfalls Null, so ist es doch definitiv eine "Lücke".
Bei folgender Funktion
f(x) = [mm] (8x-8)/(x-1)^4
[/mm]
sieht das x = 1 doch absolut nach einer Lücke aus, aber warum ist es eine Polstelle, wie es der Graph ebenfalls hergibt?
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Hallo!
Fangen wir hinten an: Du weit jetzt von Leduart, daß du die Polynome in Zähler und Nenner in Linearkombinationen zuerlegen mußt. Danach kannst du gleiche Terme in Zähler und Nenner gegeneinander kürzen.
Hebbare Lücken hast du NUR DANN, wenn dabei der Term im Nenner verschwindet.
In deinem Beispiel steht im Nenner [mm] $(x-1)^4$ [/mm] Nach dem Kürzen steht da aber immernoch [mm] $(x-1)^3$ [/mm] ! Damit ist da immernoch eine Polstelle, und keine hebbare Lücke.
Was mit deiner ersten Frage gemeint ist, verstehe ich auch nicht ganz.
Zur zweiten: i.A. kommt sowas nicht vor.
Wenn eine Funktion einen Sprung hat, kann die Sprungstelle drin sein, oder auch nicht:
[mm] f(x)=\begin{cases} -1 & \mbox{für } x<0 \\ 1 & \mbox{für } x>0 \end{cases}
[/mm]
Hier ist x=0 nicht definiert, es gibt ne Lücke. Man kann daraus jetzt
[mm] f(x)=\begin{cases} -1 & \mbox{für } x<0 \\ 1 & \mbox{für } x \ge 0 \end{cases}
[/mm]
machen, dann gibts auch ein f(0). Stetig ist diese Funktion aber NICHT.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Fr 06.04.2007 | | Autor: | otnop |
Hey!
Alles klar, also findet dort so eine Art von Partialbruchzerlegung statt, bei der nach dem Kürzen aus
f(x) = [mm] (8x-8)/(x-1)^4
[/mm]
--> f(x) = [mm] 8(x-1)/(x-1)^3
[/mm]
und folglich
f(x) = [mm] 8/(x-1)^3
[/mm]
1. Nennerterm verschwindet nicht, 2. Im Zähler habe ich wieder nur eine Konstante, was mich ja ohnehin dazu bringt, nur eine Polstelle zu haben.
Korrekt?
Danke für die Hilfe!
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