Stetig ergänzbar (?) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo. Ich soll überprüfen, ob die Folge [mm] \bruch{x^{n} - b^{n}}{x-b} [/mm] im Punkt b stetig ergänzbar ist.
Kann man so zeigen, indem man überprüft, ob der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist. Also (nur salopp formuliert):
rechtsseitiger:
[mm] \bruch{(b+h)^{n} - b^{n}}{(b+h)-b} [/mm]
Wenn nun h gegen 0 geht. geht das Ganze auch gegen 0 oder?
Und beim linksseitigen ähnlich, nur mit b-h
Geht das so?
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> Hallo. Ich soll überprüfen, ob die Folge [mm]\bruch{x^{n} - b^{n}}{x-b}[/mm]
> im Punkt b stetig ergänzbar ist.
>
> Kann man so zeigen, indem man überprüft, ob der
> linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist. Also
> (nur salopp formuliert):
>
> rechtsseitiger:
>
> [mm]\bruch{(b+h)^{n} - b^{n}}{(b+h)-b}[/mm]
>
> Wenn nun h gegen 0 geht. geht das Ganze auch gegen 0 oder?
Hallo,
wenn ich in Deinem Ausdruck h gegen 0 gehen lasse, bin ich ratlos:
da steht dann nämlich [mm] \bruch{b^n-b^n}{b-b}=\bruch{0}{0}...
[/mm]
Vielleicht überlegst Du Dir erstmal, was [mm] (x^n-b^n):(x-b) [/mm] ist, und berechnest dann den Grenzwert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Der grundlegende Ansatz war aber nicht falsch, oder? Also das ich beide Grenzwerte vergleiche?
> Vielleicht überlegst Du Dir erstmal, was $ [mm] (x^n-b^n):(x-b) [/mm] $ ist, und
> berechnest dann den Grenzwert.
Hmm..bin grad irgendwie verwirrt. Was soll denn da rauskommen?
[mm] (x^{n-1} [/mm] - [mm] b^{n-1}) [/mm] ???
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> Der grundlegende Ansatz war aber nicht falsch, oder? Also
> das ich beide Grenzwerte vergleiche?
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> > Vielleicht überlegst Du Dir erstmal, was [mm](x^n-b^n):(x-b)[/mm]
> ist, und
> > berechnest dann den Grenzwert.
>
> Hmm..bin grad irgendwie verwirrt. Was soll denn da
> rauskommen?
>
> [mm](x^{n-1}[/mm] - [mm]b^{n-1})[/mm] ???
Hallo,
$ [mm] (x^n-b^n):(x-b) [/mm] $ ist eine rechnung und kein Ratespiel!
Rechne es halt aus. Du kannst's ja erstmal für n=10, 20, 30 machen, um etwas warm zu werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry. Aber wie soll man da denn großartig rechnen?
Ich versteh irgendwie nicht, worauf du hinauswillst. Selbst wenn ich n=10 wähle, würde da steht [mm] (x^{10} [/mm] - [mm] b^{10}) [/mm] : (x-b) Immer noch zu allgemein. Und Polynomdivision geht auch nicht :(
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> Sry. Aber wie soll man da denn großartig rechnen?
>
> Ich versteh irgendwie nicht, worauf du hinauswillst. Selbst
> wenn ich n=10 wähle, würde da steht [mm](x^{10}[/mm] - [mm]b^{10})[/mm] :
> (x-b) Immer noch zu allgemein. Und Polynomdivision geht
> auch nicht :(
Warum nicht?
natürlich geht das!
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Dann steht da aber doch, also als Ergebnis:
[mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] bx^{n-2} [/mm] ...
Also hängt nur ein Term nicht von b ab. Kann man das so sagen?
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> Dann steht da aber doch, also als Ergebnis:
>
> [mm]x^{n-1}[/mm] + [mm]bx^{n-2}[/mm] ...
Hallo,
das Ende der Summe würde auch noch brennend interessieren.
Wieviel Summanden sind es eigentlich?
Und in diesem Ausdruck lasse nun x gegen b laufen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal für die Hilfe ;)
Hmm..wenn man da weiterrechnet, steht aber nichts konkretes da, da n ja beliebig ist.
Das Ergebnis ist:
[mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] bx^{n-2} [/mm] + [mm] b^{2} x^{n-3} [/mm] + ... + [mm] b^{n}
[/mm]
Gibt es also n+1 Summanden?
Wenn ich jetzt x gegen b geh lassen, was soll dann da stehn? Sry, ich seh das irgendwie nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
> Das Ergebnis ist:
> [mm]x^{n-1}[/mm] + [mm]bx^{n-2}[/mm] + [mm]b^{2} x^{n-3}[/mm] + ... + [mm]b^{n}[/mm]
Fast: am Ende muss es auch [mm] $b^{n-1}$ [/mm] lauten.
> Gibt es also n+1 Summanden?
Nein: $n_$ .
> Wenn ich jetzt x gegen b geh lassen, was soll dann da
> stehn? Sry, ich seh das irgendwie nicht.
Wie lautet denn dann jeder einzelne Summand für $x \ = \ b$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:40 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke.
Ich hab in meiner Übung hingeschrieben, dass dann jeder Summand gegen [mm] b^{n-1} [/mm] geht und das Gesamte dann gegen n * [mm] b^{n-1}. [/mm] Es existiert ein Grenzwert an der Stelle x=b und deswegen ist die Funktion f dort stetig ergänzbar.
Ähm, kann man das eigentlich IMMER machen, also den Grenzwert dort überprüfen? Und geht das Auch mit dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert oder war das komplett daneben?
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> Danke.
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> Ich hab in meiner Übung hingeschrieben, dass dann jeder
> Summand gegen [mm]b^{n-1}[/mm] geht und das Gesamte dann gegen n *
> [mm]b^{n-1}.[/mm] Es existiert ein Grenzwert an der Stelle x=b und
> deswegen ist die Funktion f dort stetig ergänzbar.
>
> Ähm, kann man das eigentlich IMMER machen, also den
> Grenzwert dort überprüfen? Und geht das Auch mit dem
> linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert oder war das
> komplett daneben?
>
Hallo,
man muß immer bei dieser Fragestellung nachschauen, die Funktion an der fraglichen Stelle einen Grenzwert hat.
Gelegentlich tut man dies, indem man schaut, ob der GW von rechts und von links derselbe ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Kommt Dir der Quotient $ [mm] \bruch{x^{n} - b^{n}}{x-b} [/mm] $ nicht bekannt vor ?
Auch wenn Ihr bisher an der Uni noch keine Differentialrechnung gemacht habt, solltest Du Dich an Deine Schulzeit erinnern:
Setze $f(x):= [mm] x^n$. [/mm] Dann ist
$ [mm] \bruch{x^{n} - b^{n}}{x-b}= \bruch{f(x)-f(b)}{x-b} [/mm] $
Ein Differenzenquotient ! Und was treibt der für x [mm] \to [/mm] b ? Er geht gegen [mm] f'(b)=nb^{n-1}
[/mm]
Wahrscheinlich darfst Du das (noch) nicht verwenden, aber es hätte Dir einen Hinweis geben können, in welche Richtung der Hase läuft.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja, danke. Der wurde heute bei uns behandelt ;) Das ist auch wesentlich einfacher als die topologischen Begriffe. xD
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