Stetig&differenzierbar-a,b,c < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Do 20.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Parameter a,b & c so, dass [mm] $f\,$ [/mm] eine stetige und differenzierbare Funktion darstellt.
[mm] $$f(x)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } x\le-1 \\ -x^2-4x-1, & \mbox{für } -11 \end{cases}$$ [/mm] |
Hallo,
leider weiß ich nicht, wie ich herangehen sollte, da ich solche Aufgaben mit a&b gewohnt bin... Über etwas Hilfe würde ich mich sehr freuen!
[mm] g(x)=x^2-a
[/mm]
[mm] h(x)=-x^2-4x-1
[/mm]
[mm] i(x)=x^3-3bx+c
[/mm]
evtl
g(x)=h(x)
[mm] x^2-a=-x^2-4x-1
[/mm]
[mm] 2x^2+4x+1=a [/mm]
wüsste aber nicht, wo man dies einsetzen sollte...
g'(x)=h'(x)
2x=-2x-4 ... gar kein a mehr vorhanden ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 20.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Parameter a,b & c so, dass feine stetige
> und differenzierbare Funktion darstellt.
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } n \mbox{ x\le-1} \\
-x^2-4x-1, & \mbox{für } n \mbox{ -11} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> leider weiß ich nicht, wie ich herangehen sollte, da ich
> solche Aufgaben mit a&b gewohnt bin... Über etwas Hilfe
> würde ich mich sehr freuen!
>
> evtl
> g(x)=h(x)
>
> [mm]x^2-a=-x^2-4x-1[/mm]
>
> [mm]2x^2+4x+1=a[/mm]
>
> wüsste aber nicht, wo man dies einsetzen sollte...
>
> g'(x)=h'(x)
>
> 2x=-2x-4 ... gar kein a mehr vorhanden ...
Hallo,
es wäre günstig, vor dem Abschicken auf den Vorschau-Button zu klicken. Das ist unlesbar und fehlerhaft.
Du schreibst etwas von a, b und c. Ich finde weder b noch c.
Wenn ich den verstümmelten Text richtig interpretiere, dann sollen die beiden Teilgraphe bei x=-1 zusammenstoßen?
Dann müssten die beiden Teilfunktionen dort den selben Funktionswert haben.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Do 20.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Parameter a,b & c so, dass feine stetige
> und differenzierbare Funktion darstellt.
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } x\le-1 \\
-x^2-4x-1, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> leider weiß ich nicht, wie ich herangehen sollte, da ich
> solche Aufgaben mit a&b gewohnt bin... Über etwas Hilfe
> würde ich mich sehr freuen!
>
> [mm]g(x)=x^2-a[/mm]
> [mm]h(x)=-x^2-4x-1[/mm]
> [mm]i(x)=x^3-3bx+c[/mm]
>
>
>
> evtl
> g(x)=h(x)
>
> [mm]x^2-a=-x^2-4x-1[/mm]
>
> [mm]2x^2+4x+1=a[/mm]
>
> wüsste aber nicht, wo man dies einsetzen sollte...
>
> g'(x)=h'(x)
>
> 2x=-2x-4 ... gar kein a mehr vorhanden ...
Ach, so soll das aussehen!
Damit es bei -1 keinen Sprung im Graphen gibt, muss a so gewählt werden, dass [mm] $(-1)^2-a=-(-1)^2-4*(-1)-1$ [/mm] ist.
Die Parameter b und c sind so zu wählen, dass an der Stelle x=1 Funktionswert UND Anstieg der dort zusammenstoßenden Funktionen übereinstimmen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 20.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Hallo und danke für die ANtwort!
Also etwa so?
[mm] -(1)^2-4(1)=(1)^3-3b(1)+c
[/mm]
-5=1-3b+c
3b-6=c
&
[mm] -2(1)-4=3(1)^2-3b
[/mm]
-6=3-3b
b=3
b einsetzen
3(3)-6=c
c=3
In der Musterlösung steht a=-1, b=3 & c=2 ... Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 20.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Parameter a,b & c so, dass feine stetige
> und differenzierbare Funktion darstellt.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } x\le-1 \\ -x^2-4x-1, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> leider weiß ich nicht, wie ich herangehen sollte, da ich
> solche Aufgaben nur mit 2 Funktionen gewohnt bin... Über
> etwas Hilfe würde ich mich sehr freuen!
na, Probleme kann es doch nur an den "Nahtstellen" geben, also an
$x=1$ und an [mm] $x=-1\,.$
[/mm]
Damit eine Funktion differenzierbar an einer Stelle ist, muss sie
notwendiger Weise an dieser schonmal mindestens stetig sein.
Daher fangen wir mal damit an (und wenn wir dann passende [mm] $a,b,c\,$
[/mm]
gefunden haben, müssen wir prüfen, wie's an diesen Stellen dann
mit der Diff'barkeit aussieht - an allen anderen ist's klar: Warum?):
1.) Offenbar ist [mm] $f(-1)=(-1)^2-a=1-a\,.$ [/mm] Was ist [mm] $\lim_{-1 < x \to -1}f(x)$?
[/mm]
Was folgt damit? Wie sieht's dann mit der Diff'barkeit an [mm] $x=-1\,$ [/mm] aus?
2.) Es ist [mm] $f(1)=-1^2-4*1-1=-6\,.$ [/mm] Was ist [mm] $\lim_{1 < x \to 1}f(x)$?
[/mm]
Was folgt damit? (Bedingung hinschreiben und merken!)
Zudem: Was ist [mm] $\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+(-h))-f(1)}{-h}$? [/mm] (Um das
herauszufinden, reicht es eigentlich, für [mm] $g(x):=-x^2-4x-1$ [/mm] einfach $g'(1)$
auszurechnen: Warum?)
Welche Bedingung folgt dann für
[mm] $$\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\,,$$
[/mm]
bzw. wie sieht denn
[mm] $$\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
[/mm]
eigentlich aus?
(Tipp: Setzt man [mm] $h(x):=x^3-3bx+c\,,$ [/mm] so kann man sich auf das
Berechnen von $h'(1)$ beschränken: Warum?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
> Hallo,
>
> > Bestimmen Sie die Parameter a,b & c so, dass feine stetige
> > und differenzierbare Funktion darstellt.
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } x\le-1 \\ -x^2-4x-1, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> > leider weiß ich nicht, wie ich herangehen sollte, da ich
> > solche Aufgaben nur mit 2 Funktionen gewohnt bin... Über
> > etwas Hilfe würde ich mich sehr freuen!
>
> na, Probleme kann es doch nur an den "Nahtstellen" geben,
> also an
> [mm]x=1[/mm] und an [mm]x=-1\,.[/mm]
>
> Damit eine Funktion differenzierbar an einer Stelle ist,
> muss sie
> notwendiger Weise an dieser schonmal mindestens stetig
> sein.
>
> Daher fangen wir mal damit an (und wenn wir dann passende
> [mm]a,b,c\,[/mm]
> gefunden haben, müssen wir prüfen, wie's an diesen
> Stellen dann
> mit der Diff'barkeit aussieht - an allen anderen ist's
> klar: Warum?):
>
Ich würde sagen, weil es nur an den Übergängen der Funktion zu lücken komme kann per definition...
> 1.) Offenbar ist [mm]f(-1)=(-1)^2-a=1-a\,.[/mm] Was ist [mm]\lim_{-1 < x \to -1}f(x)[/mm]?
>
> Was folgt damit? Wie sieht's dann mit der Diff'barkeit an
> [mm]x=-1\,[/mm] aus?
>
> 2.) Es ist [mm]f(1)=-1^2-4*1-1=-6\,.[/mm] Was ist [mm]\lim_{1 < x \to 1}f(x)[/mm]?
>
> Was folgt damit? (Bedingung hinschreiben und merken!)
>
Hmmmm, ich habe hier eine Formel, die besagt, dass stetigkeit vorligt, wenn
[mm] \limes_{x pfeilnachoben 0}f(x) [/mm] = [mm] \(f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x pfeilnachunten 0}f(x)
[/mm]
& differenzierbarkeit, wenn das ganze stetig ist &
[mm] \limes_{x pfeilnachoben 0}f'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x pfeilnachunten 0}f'(x)
[/mm]
Ich bin nicht der Beste in Mathe, daher wollte ich es so einfach wir möglich halte.. (aber nicht zu einfach ;))
> Zudem: Was ist [mm]\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+(-h))-f(1)}{-h}[/mm]?
> (Um das
> herauszufinden, reicht es eigentlich, für [mm]g(x):=-x^2-4x-1[/mm]
> einfach [mm]g'(1)[/mm]
> auszurechnen: Warum?)
> Welche Bedingung folgt dann für
> [mm]\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\,,[/mm]
> bzw. wie sieht
> denn
> [mm]\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm]
> eigentlich aus?
> (Tipp: Setzt man [mm]h(x):=x^3-3bx+c\,,[/mm] so kann man sich auf
> das
> Berechnen von [mm]h'(1)[/mm] beschränken: Warum?)
>
Auch hier kann ich leider nicht ganz folgen... trotzdem vielen Dank für die Mühe!
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Bestimmen Sie die Parameter a,b & c so, dass feine stetige
> > > und differenzierbare Funktion darstellt.
> > >
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } x\le-1 \\ -x^2-4x-1, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > > leider weiß ich nicht, wie ich herangehen sollte, da ich
> > > solche Aufgaben nur mit 2 Funktionen gewohnt bin... Über
> > > etwas Hilfe würde ich mich sehr freuen!
> >
> > na, Probleme kann es doch nur an den "Nahtstellen" geben,
> > also an
> > [mm]x=1[/mm] und an [mm]x=-1\,.[/mm]
> >
> > Damit eine Funktion differenzierbar an einer Stelle ist,
> > muss sie
> > notwendiger Weise an dieser schonmal mindestens stetig
> > sein.
> >
> > Daher fangen wir mal damit an (und wenn wir dann passende
> > [mm]a,b,c\,[/mm]
> > gefunden haben, müssen wir prüfen, wie's an diesen
> > Stellen dann
> > mit der Diff'barkeit aussieht - an allen anderen ist's
> > klar: Warum?):
> >
>
> Ich würde sagen, weil es nur an den Übergängen der
> Funktion zu lücken komme kann per definition...
nein. Aber man sollte halt sowas wissen, dass Polynome (unendlich oft)
stetig differenzierbar sind... und damit auch jede ihrer Einschränkung auf
"sinnvolle Bereiche". Und wenn Du nun mal guckst, siehst Du sofort, dass
für jede Wahl von [mm] $a\,$ [/mm] Dein [mm] $f\,$ [/mm] sicher auf [mm] $(-\infty,-1]$ [/mm] differenzierbar
sein wird (an der Stelle [mm] $-1\,$ [/mm] linksseitig differenzierbar!), weil...
>
> > 1.) Offenbar ist [mm]f(-1)=(-1)^2-a=1-a\,.[/mm] Was ist [mm]\lim_{-1 < x \to -1}f(x)[/mm]?
>
> >
> > Was folgt damit? Wie sieht's dann mit der Diff'barkeit an
> > [mm]x=-1\,[/mm] aus?
> >
> > 2.) Es ist [mm]f(1)=-1^2-4*1-1=-6\,.[/mm] Was ist [mm]\lim_{1 < x \to 1}f(x)[/mm]?
>
> >
> > Was folgt damit? (Bedingung hinschreiben und merken!)
> >
>
> Hmmmm, ich habe hier eine Formel, die besagt, dass
> stetigkeit vorligt, wenn
>
> [mm]\limes_{x pfeilnachoben 0}f(x)[/mm] = [mm]\(f(x)[/mm] = [mm]\limes_{x pfeilnachunten 0}f(x)[/mm]
Ja - kurz und knapp: Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert
muss jeweils existieren und mit dem Funktionswert zusammenfallen! Und
bei Dir geht's nur um die Stelle [mm] $0\,,$ [/mm] besser schreibe da mal [mm] $x_0\,.$
[/mm]
> & differenzierbarkeit, wenn das ganze stetig ist &
??
> [mm]\limes_{x pfeilnachoben 0}f'(x)[/mm] = [mm]\limes_{x pfeilnachunten 0}f'(x)[/mm]
Da hat Dir jemand Unsinn erzählt - da ging's eventuell schon um die
Stetigkeit der Ableitung an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] (wie eben: besser [mm] $x_0$
[/mm]
schreiben).
Als Bedingung hast Du, dass die rechtsseitige und linksseitige Ableitung
an der betrachteten Stelle existieren und übereinstimmen - dann ex.
an der Stelle auch die Ableitung und stimmt mit einer (und damit auch jeder) der beiden einseitigen Ableitung überein.
> Ich bin nicht der Beste in Mathe, daher wollte ich es so
> einfach wir möglich halte.. (aber nicht zu einfach ;))
Zu einfach geht's auch nicht!
> > Zudem: Was ist [mm]\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+(-h))-f(1)}{-h}[/mm]?
> > (Um das
> > herauszufinden, reicht es eigentlich, für [mm]g(x):=-x^2-4x-1[/mm]
> > einfach [mm]g'(1)[/mm]
> > auszurechnen: Warum?)
> > Welche Bedingung folgt dann für
> > [mm]\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\,,[/mm]
> > bzw. wie
> sieht
> > denn
> > [mm]\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm]
> > eigentlich
> aus?
> > (Tipp: Setzt man [mm]h(x):=x^3-3bx+c\,,[/mm] so kann man sich auf
> > das
> > Berechnen von [mm]h'(1)[/mm] beschränken: Warum?)
> >
>
> Auch hier kann ich leider nicht ganz folgen... trotzdem
> vielen Dank für die Mühe!
Na, pass' auf, ich mach's mal beispielhaft, und morgen schauen wir uns das
alles vielleicht mal genauer an:
Nehmen wir an, jemand würde Dich bitten, zu gucken, ob die Funktion
[mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2+x$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $f(x):=x^3$ [/mm] für $x < [mm] 0\,$ [/mm] stetig
und differenzierbar sei.
Auf [mm] $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ [/mm] ist alles klar. Weiter kannst Du gucken, dass
und warum [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] stetig ist.
Wie schaut man, ob [mm] $f\,$ [/mm] auch differenzierbar dort ist?
Naja, man kann nun sagen:
Okay, wir berechnen
[mm] $$\lim_{0 < x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{0 < x \to 0} \frac{x^2+x}{x}=...=1$$
[/mm]
und
[mm] $$\lim_{0 > x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{0 > x \to 0} (x^3/x)=...=0\,.$$
[/mm]
Man kann aber auch sagen: Weil die Funktion [mm] $g(x):=x^2+x$ [/mm]
differenzierbar in [mm] $0\,$ [/mm] mit $g'(0)=1$ ist, hat auch die rechtseitige
Ableitung den Wert [mm] $1\,.$ [/mm] Die rechtseitige Ableitung von [mm] $g\,$ [/mm] an [mm] $0\,$
[/mm]
ist aber nichts anderes als die rechtsseitige Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der
Stelle [mm] $0\,.$
[/mm]
Analog wissen wir für [mm] $h(x):=x^3\,,$ [/mm] dass [mm] $h'(0)=3*0^2=0$ [/mm] ist, also ist
auch die linksseitige Ableitung von [mm] $h\,,$ [/mm] was aber auch die linksseitige
von [mm] $f\,$ [/mm] ist, mit dem Wert [mm] $0\,$ [/mm] gegeben.
Die linksseitige Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] ist also [mm] $0\,,$ [/mm] die
rechtsseitge aber [mm] $=1\not=0\,.$ [/mm] Also ist [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] nicht diff'bar.
Solche Überlegungen kannst Du bei Deiner Aufgabe anstellen, also
analoge, damit erhältst Du insgesamt:
1.) Aus der Stetigkeit von (DEINEM) [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $-1$ folgt
[mm] $$a\stackrel{!}{=}-1\,.$$
[/mm]
(Wieso?)
2.) Aus der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle 1 folgt
[mm] $$-6\stackrel{!}{=}1-3b+c\,.$$ [/mm]
(Wieso?)
3.) Aus der Diff'barkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle 1 folgt
$$-2*1-4 [mm] \stackrel{!}{=}3*1-3*b\,.$$
[/mm]
(Ist Dir nun klar, dass linkerhand die linksseitige Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der
Stelle [mm] $1\,$ [/mm] steht und rechterhand eben die rechtsseitige?)
Dass diese notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind, musst/solltest Du Dir kurz klarmachen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 20.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
lies' etwa hier.
P.S.
Falsches Forum, das hat nichts mit gew. DGLn zu tun!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 20.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> In der Musterlösung steht a=-1, b=3 & c=2 ... Was habe ich
> falsch gemacht?
dann ist die Musterlösung auch falsch:
Ich erhalte $a=-1,\,$ $b=8/3\,$ und $c=1$ - sofern Deine Funktion
korrekt hier steht:
$$f(x)=\begin{cases} x^2-a, & \mbox{für } x\le-1 \\ -x^2-4x-1, & \mbox{für } -1<x \le 1} \\ x^3-3bx+c, & \mbox{für } x>1 \end{cases}$$
Edit: Hatte anstatt mit $x^3$ am Ende mit $x^2$ gerechnet... Sorry. Die Lösung stimmt dann!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Die Funktion ist richtig übernommen! Die Ergebnisse:
Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte)
a) Die Funktion f ist fu ̈r a = −1, b = 3 und c = 2 stetig und differenzierbar.
b) Es gilt:
lim 1x−1 =0 x→0 sin(x) − x
Naja, in der Uni HH kann sowas schonmal geschehen..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Do 20.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Tony,
es wäre nett gewesen, Du hättest einfach Deine zuerst eingestellte Frage nachbearbeitet - dieses Recht steht Dir als Autor ja zu -, anstatt das Forum hier mit Formatierungsversuchen zuzumüllen.
Nutze auch vor dem Absenden die "Vorschau"-Funktion.
Damit es jetzt kein größeres Chaos gibt, habe ich die beiden "misslungenen" Versuche mal quasi inaktiv gestellt und die erste Antwort von abakus mit hierher verschoben. Das ist zwar auch ein bisschen irritierend, aber allemal besser, als hier drei Threads zum gleichen Thema herumfliegen zu haben. Da steigt dann keiner mehr durch, Du auch nicht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Do 20.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Huch.. 3mal gepostet??? Ich habe eigentlich die Vorschau bemüht, leider zeigte er mir an, dass es einen Fehler gab. Wüsste nicht, dass ich Senden gedrückt hätte.. ich werde in Zukunft mehr Acht geben, danke für die KOrrektur!
Oh, jetzt sehe ich es auch... war nicht meine Absicht!
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