Stetig: Topologie > Metr. Raum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Sa 22.04.2006 | | Autor: | self |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
Kann mir jemand erklären wir man von der Definition von Stetigkeit in topologischen Räumen (f stetig [mm] \gdw [/mm] Urbilder offener Mengen sind wieder offen) auf die "alte" [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Defintion kommt?
Also: Seien X1, X2 toplogische Räume mit Metrik und dadurch definierter Topologie.
Insbesondere verstehe ich nicht wie man auf
f stetig [mm] \gdw[/mm] [m]\forall x \in X_1 : \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: f(B_\delta(x)) \subseteq B_\epsilon(f(x)) [/m]
kommt.
Grüße, Alex
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Hallo!
Das ist gar nicht so schwer.  Angenommen $X$ und $Y$ sind metrische Räume (die [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] Definition macht ja nur für metrische Räume Sinn) mit induzierter Topologie und $f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist eine Abbildung, die stetig im Sinne der Topologie ist, d.h. Urbilder offener Mengen sind offen.
Zu zeigen ist, dass $f$ stetig im Sinn der [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] Definition ist.
Sei also $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgegeben. Dann ist
[mm] $B_\varepsilon\big( [/mm] f(x) [mm] \big) [/mm] = [mm] \{ y \in Y : d_Y\big(y, f(x)\big) < \varepsilon\}$
[/mm]
eine offene Menge in $Y$ (einfach der offene Ball mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] um $f(x)$) und damit ist sein Urbild $U [mm] \subseteq [/mm] X$ wieder offen. Und natürlich liegt $x [mm] \in [/mm] U$, denn die Definition von $U$ ist ja gerade, dass $U$ genau die Elemente aus $X$ enthält, die in den obigen Ball abgebildet werden und $x$ geht auf $f(x)$, was im Ball liegt.
Also, $U$ ist offen und $x [mm] \in [/mm] U$, also gibt es nach Definition der Topologie eine Umgebung von $x$, die auch in $U$ liegt, sprich es gibt ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass [mm] $B_\delta(x) \subseteq [/mm] U$. Das aber ist alles, was wir brauchen: nach Definition des Urbildes wird nun jedes Element aus dieser [mm] $\delta$ [/mm] Umgebung von $x$ in die [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] des Bildpunktes abgebildet.
Und das ist ja genau die Bedingung der Stetigkeit.
Alles klar?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Sa 22.04.2006 | | Autor: | self |
Danke für die schnelle Antwort! Hab's jetzt verstanden!
Grüße, Alex
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