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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 08.05.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | Sei P der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR. [/mm]
Zu einem Polynom p(t) = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} t^{k} [/mm] sei
[mm] \parallel [/mm] p [mm] \parallel [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} |a_{k}|.
[/mm]
Man untersuche, ob folgende lineare Abbildung l: P [mm] \to \IR [/mm] stetig ist und ermittle gegebenfalls [mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel [/mm] |
Hallo, bräuchte eine Erklärung..
Antwort:
l ist stetig mit [mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel [/mm] = 1:
Jedenfalls ist für jedes Poynom p(t) = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} t^{k}
[/mm]
|l(p)| [mm] \le \integral_{0}^{1}{|p(t)| dt} \le \integral_{0}^{1}{(\summe_{k=0}^{n} |a_{k}| t^{k} )dt} \le \integral_{0}^{1}{(\summe_{k=0}^{n} |a_{k}| )dt} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] p [mm] \parallel [/mm]
Also ist [mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel \le [/mm] 1
(???WARUM???? Meine Vermutung: [mm] \parallel [/mm] p [mm] \parallel [/mm] = 1, weils ja normiert ist... ich glaube, ich stehe mal wieder auf der Leitung)
Für das konstante Polynom p [mm] \equiv [/mm] 1 ist [mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel \ge [/mm] |l(p)| =1.
Wäre froh, wenn mir jemand dies erklären könnte!
Vielen Dank!
lg dena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Di 08.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Welche lineare Abbildung???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 08.05.2007 | | Autor: | dena |
ups...
natürlich habe ich was vergessen:
l(p) = [mm] \integral_{0}^{1}{p(t) dt}
[/mm]
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Di 08.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] p(t)=\summe_{k=0}^{n}a_{k}*t^k
[/mm]
l(p(t))= [mm] \integral_{0}^{1}p(t)dt [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{a_{k}}{k+1}
[/mm]
zu zeigen:
l ist stetig
denn
berechne ||l|| welche Norm??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 08.05.2007 | | Autor: | dena |
Welche Norm weiß ich leider auch nicht...
Die Frage steht so im Buch.. ich vermute
[mm] \parallel [/mm] l [mm] \parallel_{l_{1}}
[/mm]
oder habe ich jetzt deine Frage nicht verstanden?
lg dena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Also die Stetigkeit hast du ja schon mit deinen Ungleichungen gezeigt.
da es sich bei der Abbildung um eine Lineare Abbildung zwischen Banachräumen handelt
ist, wenn man || || als Norm und nicht als Metrik sieht, die Normdefinition (im Gegensatz zur Metrik)
[mm] ||l(p)||=\sup_{x\not=0} (\bruch{||l(p)||}{||p||}) [/mm] wobei die im sup vorkommenden || || wiederum die Metrik bezeichnen also für p die vorgegebene für [mm] l(p)\in \IR [/mm] die Normale Betragsfunktion.
und damit ist deine Argumentation schlüssig und es ist ||l(p)||=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mi 09.05.2007 | | Autor: | dena |
super wauwau!
vielen dank, jetzt leuchtet es mir ein 
lg dena
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