Stet. Funktion Maximum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Do 08.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen
soo, nachdem ich mich die letzte Zeit intensiv mit dem Kapitel "Folgen und Reihen" aus Analysis 1 (Forster) auseinandergesetzt habe, komme ich nun zum Thema Stetigkeit. Mal was anderes 
Gleich zu Beginn habe ich Fragen zum Beweis des folgenden Satzes:
Satz: Jede in einem kompakten Intervall stetige Funktion f : [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an, das heißt es existiert ein Punkt p [mm] \in [/mm] [a,b], so dass
f(p) = [mm] sup\{f(x) : x \in [a,b]\}
[/mm]
und ein Punkt q [mm] \in [/mm] [a,b], so dass
f(q) = [mm] inf\{f(x) : x \in [a,b]\}.
[/mm]
Kurze Anmerkung von mir:
-Im Forster wird eine Funktion f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] als beschränkt bezeichnet, wenn die Menge f(D) beschränkt ist, also wenn ein M [mm] \in \IR_{+} [/mm] existiert, sodass
|f(x)| [mm] \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D
- Und unter einem kompakten Intervall versteht man ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall [a,b] [mm] \subset \IR
[/mm]
Beweis:
Der Beweis wird für das Maximum geführt. Der Übergang von f zu -f liefert dann die Behauptung für das Minimum. Sei
A:= [mm] sup\{f(x) : x \in [a,b]\} \in [/mm] R [mm] \cup \{\infty\}.
[/mm]
(Es gilt A = [mm] \infty, [/mm] falls f nicht nach oben beschränkt ist.) Dann existiert eine Folge [mm] x_n \in [/mm] [a,b], n [mm] \in \IN, [/mm] sodass
[mm] lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = A.
Da die Folge [mm] (x_n) [/mm] beschränkt ist, besitzt sie nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] mit
[mm] lim_{k\rightarrow\infty} x_{n_{k}} [/mm] =: p [mm] \in [/mm] [a,b].
Aus der Stetigkeit von f folgt
f(p) = [mm] lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_{k}}) [/mm] = A,
insbesondere A [mm] \in \IR, [/mm] also ist f nach oben beschränkt und nimmt in p ihr Maximum an.
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1) Wählt man A:= [mm] sup\{f(x) : x \in [a,b]\} \in [/mm] R [mm] \cup \{\infty\}, [/mm] weil man noch nicht weiß, ob f(x) beschränkt ist, und man dies erst zeigen muss?
2) Den Schluss "Aus der Stetigkeit von f folgt
f(p) = [mm] lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_{k}}) [/mm] = A,
insbesondere A [mm] \in \IR" [/mm]
verstehe ich nicht.
Was mir einzuleuchten scheint ist die Tatsache, dass wegen der Stetigkeit von f gilt: f(p) = [mm] lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_{k}}).
[/mm]
Und wegen der oben gefolgerten Existenz einer Folge [mm] x_n \in [/mm] [a,b], n [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = A gilt dann auch [mm] lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_{k}}) [/mm] = A.
Wäre dieser Gedankengang so korrekt?
Was ich aber nicht mehr verstehe ist, dass A [mm] \in \IR [/mm] ist. Wieso gilt hier nicht mehr A [mm] \in \IR \cup \{\infty\}, [/mm] also nicht mehr A = [mm] \infty? [/mm]
Wie immer wäre ich sehr dankbar für eure Antworten! 
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Fr 09.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Wir haben mit der Folge [mm] (x_n) [/mm] in [a,b]:
[mm] $f(x_n) \to [/mm] A$.
Über die Konvergenz von [mm] (x_n) [/mm] wissen wir nix ! Aber [mm] (x_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}). [/mm] Sei p ihr Grenzwert. Da [a,b] abgeschlossen ist, ist $p [mm] \in [/mm] [a,b]$.
f ist in p stetig, also gilt
[mm] $f(x_{n_k}) \to [/mm] f(p)$.
Da [mm] (f(x_{n_k})) [/mm] Teilfolge von [mm] (f(x_n)) [/mm] ist gilt auch
[mm] $f(x_{n_k}) \to [/mm] A$.
Somit ist $A=f(p) [mm] \in [/mm] f([a,b]) [mm] \subseteq \IR$, [/mm] also $A [mm] \in \IR$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred,
danke für deine erklärende Antwort!
Also kann man sagen, dass aus dem ursprünglich definierten
A mit A [mm] \in \IR \cup \{\infty\} [/mm] wegen der durch die verschiedenen Schritte resultierenden Gleichheit A = f(p) ein A wird, welches gleich dem Funktionswert f(p) ist und somit nicht mehr unendlich sein kann, da f(p) ja eine feste reelle Zahl ist?
Und folgt die Aussage "f nimmt in p ihr Maximum an" wegen der Tatsache, dass f(p) kleinste obere Schranke ist und selbst in der Menge {f(x): x [mm] \in [/mm] [a,b]} ist?
VG X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Sa 10.12.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine erklärende Antwort!
>
> Also kann man sagen, dass aus dem ursprünglich definierten
> A mit A [mm]\in \IR \cup \{\infty\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wegen der durch die
> verschiedenen Schritte resultierenden Gleichheit A = f(p)
> ein A wird, welches gleich dem Funktionswert f(p) ist und
> somit nicht mehr unendlich sein kann, da f(p) ja eine feste
> reelle Zahl ist?
>
ja
> Und folgt die Aussage "f nimmt in p ihr Maximum an" wegen
> der Tatsache, dass f(p) kleinste obere Schranke ist und
> selbst in der Menge {f(x): x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[a,b]} ist?
>
nochmal ja
> VG X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Super Dankeschön, jetzt ist alles klar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß X3nion
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