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Huhu zusammen
Habe gerade eine Aufgabe angeschaut. Es geht darum:
Ein Kegel mit dem Volumen V wird durch 2 zu Grundfläche parallele Schnitte in 3 gleich hohe Körper geteilt. Welche Bruchteile des Gesamtvolumens V nehmen die 3 Körper ein.
=> Höhe bleibt gleich... Volumenformel : 1/3 G [mm] \* [/mm] h...
Zentrische Streckung: Volumenverhältnis = [mm] k^3
[/mm]
Dies weiss ich, aber ich kann damit nichts anfangen, da ja die Höhe gleich bleibt...hum...vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen.
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüsse Nicole
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:43 So 13.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Huhu zusammen
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> Habe gerade eine Aufgabe angeschaut. Es geht darum:
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> Ein Kegel mit dem Volumen V wird durch 2 zu Grundfläche
> parallele Schnitte in 3 gleich hohe Körper geteilt. Welche
> Bruchteile des Gesamtvolumens V nehmen die 3 Körper ein.
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> => Höhe bleibt gleich... Volumenformel : 1/3 G [mm]\*[/mm] h...
> Zentrische Streckung: Volumenverhältnis = [mm]k^3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Diesen Zusammenhang wirst Du brauchen - siehe weiter unten.
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> Dies weiss ich, aber ich kann damit nichts anfangen, da ja
> die Höhe gleich bleibt...hum...vielleicht kann mir da
> jemand weiterhelfen.
Seien [mm] $h_1$, $h_2$ [/mm] und [mm] $h_3$ [/mm] die Höhen der drei Teilkörper [mm] ($h_1$ [/mm] oberer Teil, [mm] $h_2$ [/mm] mittlerer Teil, [mm] $h_3$ [/mm] unterer Teil), $h$ die Höhe und $V$ das Volumen der Gesamtpyramide. Schreib nun einfach auf, was Du an Bestimmungsgleichungen für diese drei Grössen [mm] $h_{1,2,3}$ [/mm] finden kannst. Drei Gleichungen genügen.
Zum Beispiel muss [mm] $h_1+h_2+h_3=h$ [/mm] gelten.
Wegen der Volumenbedingung muss z.B. auch [mm] $\left(\frac{h_1}{h}\right)^3\cdot V=\frac{1}{3}\cdot [/mm] V$, das heisst: [mm] $\left(\frac{h_1}{h}\right)^3=\frac{1}{3}$ [/mm] gelten.
Des weiteren muss doch [mm] $\left(\frac{h_1+h_2}{h}\right)^3\cdot V=\frac{2}{3}\cdot [/mm] V$, das heisst: [mm] $\left(\frac{h_1+h_2}{h}\right)^3=\frac{2}{3}$ [/mm] gelten.
Damit hätten wir drei Gleichungen: mit etwas Geschick findest Du auch eine Lösung...
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 06:27 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> > Huhu zusammen
> >
> > Habe gerade eine Aufgabe angeschaut. Es geht darum:
> >
> > Ein Kegel mit dem Volumen V wird durch 2 zu Grundfläche
> > parallele Schnitte in 3 gleich hohe Körper geteilt. Welche
> > Bruchteile des Gesamtvolumens V nehmen die 3 Körper ein.
> >
> > => Höhe bleibt gleich... Volumenformel : 1/3 G [mm]\*[/mm] h...
> > Zentrische Streckung: Volumenverhältnis = [mm]k^3[/mm]
>
> Diesen Zusammenhang wirst Du brauchen - siehe weiter
> unten.
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> >
> > Dies weiss ich, aber ich kann damit nichts anfangen, da ja
> > die Höhe gleich bleibt...hum...vielleicht kann mir da
> > jemand weiterhelfen.
Ich habe glatt die falsche Aufgabe gelöst. Nun, die Sache ist einfacher als ich dachte: sind [mm] $V_1, V_2, V_3$ [/mm] die Volumina der drei Teilkörper (oberer, mittlerer und unterer Teil), dann ist doch
[mm]V_1=\left(\tfrac{1}{3}\right)^3V[/mm] also [mm]\frac{V_1}{V}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^3[/mm]
und [mm] $V_2=\left[\left(\tfrac{2}{3}\right)^3-\left(\tfrac{1}{3}\right)^3\right]V$, [/mm] also [mm] $\frac{V_2}{V}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^3-\left(\tfrac{1}{3}\right)^3$
[/mm]
sowie [mm] $V_3=\left[1-\left(\tfrac{2}{3}\right)^3\right]V$, [/mm] also [mm] $\frac{V_2}{V}=1-\left(\tfrac{2}{3}\right)^3$
[/mm]
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Hi
vielen Dank für den Lösungsweg. Was den obersten Kegel betrifft, kann ich verstehen, wieso man es so betrachtet. Der zweite Teil hat ja nicht mehr die Form eines Kegels...sondern eher eines Kegelstumpfes... und dort würde ja das Volumen anderst berechnet werden...darf man da dann auch einfach damit rechnen, dass das Volumen dem Streckungsfaktor [mm] k^3 [/mm] entspricht???
Danke für die Hilfe.
Liebe Grüsse Nicole
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> Hi
>
> vielen Dank für den Lösungsweg. Was den obersten Kegel
> betrifft, kann ich verstehen, wieso man es so betrachtet.
> Der zweite Teil hat ja nicht mehr die Form eines
> Kegels...sondern eher eines Kegelstumpfes... und dort würde
> ja das Volumen anderst berechnet werden...darf man da dann
> auch einfach damit rechnen, dass das Volumen dem
> Streckungsfaktor [mm]k^3[/mm] entspricht???
Nein, dazu müssen die Körper natürlich zueinander ähnlich sein und einfach durch eine Streckung mit dem Faktor $k$ in einander übergeführt werden können. Deshalb habe ich ja die fraglichen Volumina unterschiedlich berechnet. Das oberste Volumen ist ein zum Gesamtkegel ähnlicher Kegel, der aus diesem durch Streckung mit dem Faktor [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] hervorgeht. Sein Volumen ist also [mm] $V_1=\left(\frac{1}{3}\right)^3V$, [/mm] wobei $V$ das Volumen des Gesamtkegels ist.
Das mittlere Teilvolumen ist nun kein Kegel mehr, also sicher nicht mehr ähnlich zum Gesamtkegel. Aber das Volumen dieses mittleren Kegelstumpfes erhält man einfach, indem man von einem (zum Gesamtkegel mit Streckfaktor [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] ähnlichen) Kegel mit Volumen [mm] $V=\left(\frac{2}{3}\right)^3V$ [/mm] das obere Teilvolumen, also [mm] $\left(\frac{1}{3}\right)^3V$, [/mm] subtrahiert. Sein Volumen ist somit [mm] $V_2=\left(\frac{2}{3}\right)^3V-\left(\frac{1}{3}\right)^3V$.
[/mm]
Entsprechend ist das Volumen des unteren Kegelstumpfes gleich der Differenz von Gesamtvolumen $V$ des Kegels und Volumen jenes Kegels, der mit Streckfaktor [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] aus dem Gesamtkegel hervorgeht. Sein Volumen ist somit [mm] $V_3=V-\left(\frac{2}{3}\right)^3V$
[/mm]
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