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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 05.10.2004 | | Autor: | Thomas99 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
in der Sterbetafel (z. B. 2004) findet man z.B. folgende Angaben, wobei qx für Männer und qy für Frauen gilt
Alter qx qy
51 1,915 1,465
52 2,122 1,627
53 2,353 1,802
54 2,601 1,980
55 2,860 2,154
Meine Frage: Wie ist die Definition der mittleren Lebenserwartung und wie kann ich die mittlere Lebenserwartung aus der Sterbetafel ableiten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Di 05.10.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Thomas!
> in der Sterbetafel (z. B. 2004) findet man z.B. folgende
> Angaben, wobei qx für Männer und qy für Frauen gilt
>
> Alter qx qy
>
> 51 1,915 1,465
> 52 2,122 1,627
> 53 2,353 1,802
> 54 2,601 1,980
> 55 2,860 2,154
>
> Meine Frage: Wie ist die Definition der mittleren
> Lebenserwartung und wie kann ich die mittlere
> Lebenserwartung aus der Sterbetafel ableiten?
Die mittlere Lebenserwartung interpretiere ich als Erwartungswert (Wahrscheinlichkeitsrechnung!) der Gesamtlebensdauer. Die gegebenen Informationen langen meiner Ansicht nach aber nicht aus, um diese zu berechnen.
Man kann zunächst versuchen, mittlere Restlebensdauern eines $x$-Jährigen ableiten, wobei aber auch hier nicht alle nötigen Informationen gegeben sind.
Zunächst mal kümmern wir uns um die mittlere Restlebensdauer eines 51-Jährigen. Aus der Sterbetafel kann man ablesen, mit welcher Wkt. er nicht älter als 51 wird [mm] ($q_{51}$), [/mm] mit welcher Wkt. er das Alter 52 erreicht [mm] ($1-q_{51}$) [/mm] und mit welcher Wkt. er das Alter 53 erreicht [mm] $(1-q_{51})\cdot(1-q_{52})$ [/mm] usw. Bei der Gelegenheit solltest Du noch mal nachschauen, ob hier nicht noch ein paar Nullen vor dem Komma hinzugefügt werden müssen 
Es fehlen aber noch die Informationen der Sterbewahrscheinlichkeiten [mm] $q_x$ [/mm] für $x>55$ bis zu einem bestimmten Endalter [mm] $\omega$. [/mm] Wenn diese gegeben wären, würde man die unterschiedlichen möglichen Restlebensdauern (also [mm] $0,1,2\ldots,\omega-51$) [/mm] mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gewichten und aufsummieren. So, wie man allgemein den Erwartungswert einer diskret verteilten Zufallsvariablen bestimmt.
Analog könnte man für die mittlere Restlebensdauer eines 52-Jährigen vorgehen usw.
Die mittlere Lebenserwartung hört sich für mich danach an, als wollte man dies für ein neugeborenes Baby durchführen, was dann der "Restlebensdauer" eines 0-Jährigen entsprechen würde. Dafür benötigt man aber die gesamte Sterbetafel.
Ich bin nicht sicher, ob Dir meine Ausführungen weiterhelfen. Daher ist dies nur eine Mitteilung. Melde Dich doch mal, ob das Dein Problem löst. Vielleicht haben ja andere noch andere Definitionen zur mittleren Lebenserwartung parat.
Viele Grüße
Brigitte
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Hi Brigitte,
ich glaube die Sterberate ist in Prozent angegeben, sonst macht das, wie du schon erwähnt hat, überhaupt keinen Sinn.
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-- kurze Anmerkung --
ich hab brigittes kommentar erst gelesen, nachdem ich diese antwort fertig hatte. natürlich hat sie recht, dass man die lebenserwartung nicht aus den angegebenen daten errechnen kann. das geht nur mit einer kompletten sterbetafel.
-- Anmerkung Ende --
Hi Thomas,
dieser link ![[]](/images/popup.gif) enthält einige Informationen zur Sterbetafel.
Meines Wissens steht qx als Abkürzung für [mm]_1q_x[/mm]. Diese Zahl sagt aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein x-jähriger keine 365 Tage, also kein volles Jahr überlebt. (1-qx) ist die einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit.
Die mittlere Lebenserwartung ist der Erwartungswert der Lebensdauer eines Neugeborenen. Das im Prinzip nicht berechenbar, weil man kommende qx-Werte ja nicht kennt. Man verwendet daher die momentanen qx-Werte.
Mit der Zufallsvariablen A als dem erreichten Lebensalter ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch n oder mehr Jahre alt wird gleich
[mm]\prod_{i=0}^{n-1}(1-_1q_i)=P(A\ge n)[/mm]
Die mittlere Lebenserwartung errechnet sich somit zu
[mm]\sum_{n=0}^{\infty}n\cdot P(A\ge n)[/mm]
Ist das für dich schon mal eine Erklärung?
Hugo
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