Steigung von Ellipsenachsen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Scheitelpunkte einer Ellipse, deren Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist, sind dadurch ausgezeichnet, dass [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] für diese Punkte extremal ist. Welche Steigung haben die Achsen der Ellipse [mm] 5x^{2}-2*\wurzel{3}*x*y+7y^{2}=48 [/mm] |
Habe die Die Aufgabe bereits soweirt gelöst das ich bei der Form
[mm] \wurzel{3}*(x^{2}-y^{2})=2xy [/mm] ist.
Ich weiß das die Steigung [mm] m=\bruch{y}{x } [/mm] ist
Laut lösung lässt sich die Gleichung in [mm] \wurzel{3}*(1-m^{2})=2m [/mm] umformen.
Ich habe aber keine Ahnung wie ich [mm] m=\bruch{y}{x} [/mm] in die Gleichung reinbekomme um oben genannte Form erhalte.
Könnte mir das Fix jemand erklären?
danke!
Gruß,
Obi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Scheitelpunkte einer Ellipse, deren Mittelpunkt der
> Koordinatenursprung ist, sind dadurch ausgezeichnet, dass
> [mm]f(x,y)=x^{2}+y^{2}[/mm] für diese Punkte extremal ist. Welche
> Steigung haben die Achsen der Ellipse
> [mm]5x^{2}-2*\wurzel{3}*x*y+7y^{2}=48[/mm]
> Habe die Die Aufgabe bereits soweirt gelöst das ich bei
> der Form
>
> [mm]\wurzel{3}*(x^{2}-y^{2})=2xy[/mm] ist. bin.
>
> Ich weiß das die Steigung [mm]m=\bruch{y}{x }[/mm] ist
>
> Laut lösung lässt sich die Gleichung in
> [mm]\wurzel{3}*(1-m^{2})=2m[/mm] umformen.
>
> Ich habe aber keine Ahnung wie ich [mm]m=\bruch{y}{x}[/mm] in die
> Gleichung reinbekomme um oben genannte Form erhalte.
dividiere
[mm] $$\wurzel{3}*(x^{2}-y^{2})=2xy$$
[/mm]
mal durch [mm] $x^2 \not=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mi 07.11.2012 | | Autor: | ObiKenobi |
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich soll zu oben gegegbene Aufgabe nun auch ncoh die Scheitelpunkte ermitteln.
Ich hatte die Idee die punkte [mm] m_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
und [mm] m_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
Aber hab gerade keine Idee oder Ansatz wie ich das tun könnte.
Gerade weil es sich um eine Funktion mit 2 Parametern handelt.
Freue mich übe eure hilfe.
Grüße,
Obi
Edit: Da es ja heißt m = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] folgt dann daraus y=1 und x= [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Oder schieß ich da übers ziel Hinaus?
Desweitern. Selbst wenn es so wär wüsste ich nich wie ich das einfach in meine Formel unten einsetzen kann um damit auf was sinnvolles zu kommen ... Bin gerade leicht überfordert.
|
|
|
| |
|
Hallo, wenn du einen Punkt suchst, so brauchst du immer zwei Koordinaten, du hast die beiden Achsen:
[mm] y_1=\bruch{x}{\wurzel{3}} [/mm] (rot eingezeichnet)
du bekommst [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2
[/mm]
[mm] y_2=-\wurzel{3}*x [/mm] (grün eingezeichnet)
du bekommst [mm] S_3 [/mm] und [mm] S_4
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt sollte es nicht mehr schwer sein
Steffi
(bei mir war vorhin 1+3=5, ohje, jetzt sollte es stimmen)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Vielen Dank! So ist es wirklich eindeutig!
Aber könntest du mir vielleicht noch erklären wie du auf o.g. Formen gekommen bist?
Und vielen vielen Dank für die Zeichnung! :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] \wurzel{3}(x^2-y^2)=2xy
[/mm]
[mm] \wurzel{3}x^2-\wurzel{3}y^2=2xy
[/mm]
[mm] 0=\wurzel{3}y^2+2xy-\wurzel{3}x^2
[/mm]
[mm] 0=y^2+\bruch{2x}{\wurzel{3}}y-x^2
[/mm]
jetzt p-q-Formel machen, du bekommst [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Gegeben ist die Ellipse [mm] 9x^{2}+16y^{2}=144. [/mm] Man bestimme dasjenige der Ellipse einbeschriebene Rechteck, das maximalen Flächeninhalt hat. Welchen bruchteil der Ellipsenfläche nimmt es ein? |
Vielen Dank!
Tut mir leid das ich da jetzt so nachhack aber ich versuch mcih etwas an der Musterlösung zu Orientieren.
Aber gelten diese Punkte dann auch in Abhängigkeit zur Nebenbedingung?
Ich konnte ja durch umstellen folgende Form erreichen: [mm] \wurzel{3}*(x^{2}-y^{2})=2xy
[/mm]
bzw:
[mm] =\wurzel{3}*x^{2}-2xy-\wurzel{3}*y^{2} [/mm] | [mm] :\wurzel{3}
[/mm]
[mm] =x^{2}-\bruch{2xy}{\wurzel{3}}-y^{2} [/mm] | :(-x)
[mm] x=\bruch{2y}{\wurzel{3}}+\bruch{y^{2}}{x}
[/mm]
Laut Musterlösung vom Dozenten gilt: [mm] m=\bruch{y}{x}
[/mm]
Und daraus folgte auch für mich [mm] m_1 [/mm] = [mm] -\wurzel{3} [/mm] und [mm] m_2=(\bruch{1}{\wurzel{3}}) [/mm] Dementsprechend könnte man es auf deine form umformen:
[mm] y_1= -\wurzel{3}*x
[/mm]
[mm] y_2= \bruch{x}{\wurzel{3}}
[/mm]
Weiterhin steht in der Musterlösung.
"Die Achsen der Ellipse bilden mit den Koordinatenachsen den Winkel 30°"
und
"Gleichung 3 ( [mm] 5x^{2}-2\wurzel{3}xy+7y^{2}=48 [/mm] ) wird nur zur Bestimmung der Scheitelpunkte benötigt. [mm] S_1(3, \wurzel{3}) [/mm] und [mm] S_2(-\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}, \bruch{3}{\wurzel{2}})
[/mm]
Die Extremwerte der Ellipse habe ich mit hilfe der Mitternachtsformel gelöst (klappt ja sogesehen genauso wie mit PQ). odeR?
-------------------------
Weiterhin habe ich bei der Folgeaufgabe auch ein Problem. Siehe Text oben.
Da weiß ich zwar was ich tun müsste. Jedoch weiß nicht wie der dozent in der Hesseform [mm] H(x,y,\lambda [/mm] ) auf die Form 4xy + [mm] \lambda [/mm] * [...] kommt. Da für mich der Flächeninhalt eines Rechecks mit hilfe von x*y und nicht 4*x*y berechnet wird.
Wo liegt da mein Denkfehler?
|
|
|
| |
|
Hallo, jetzt hast du ja zwei Aufgaben gleichzeitig:
zu 1)
[mm] y_1= -\wurzel{3}\cdot{}x [/mm]
[mm] y_2= \bruch{x}{\wurzel{3}} [/mm]
ist korrekt, ich hatte vorhin einen Fehler (1+3=5)
aus [mm] tan^{-1}(\bruch{1}{\wurzel{3}})=30^0
[/mm]
bekommst du den Schnittwinkel mit der x-Achse, der Schnittwinkel mit der y-Achse sollte nun nicht schwer sein, beide Achsen stehen senkrecht zueinander,
zu 2)
skizziere dir die Ellipse, Schnittstellen mit der x-Achse bei -4 und 4, mit der y-Achse bei -3 und 3, zeichne dir im 1. Quadranten ein Rechecke ein, zwei Seiten auf den Koordinatenachsen, wähle noch einen Punkt auf der Ellipse
die Fläche vom Rechteck ist dann
A(x,y)=x*y
[mm] A(x)=x*\wurzel{9-\bruch{9}{16}x^2}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Okay dann stimmt das also, sehr gut.
Wie ermittel ich jetzt aus DIESEN werten und der Nebenbedingung (siehe letzte Frage). Die Schnittpunkte aus meiner Lösung also :$ [mm] S_1(3, \wurzel{3}) [/mm] $ und $ [mm] S_2(-\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}, \bruch{3}{\wurzel{2}}) [/mm] $
Zur zweiten aufgabe: Den Flächeninhalt an sich berechnen kann ich ja, ich habe eher probleme bzw. bin verwirrt aufgrund der Gleichung [mm] H(x,y,\lambda) [/mm] da diese die Form [mm] 4xy+\lambda*(9x^{2}+16y{2}-144) [/mm] hat.
Meiner meinung nach müsste da: [mm] H(x,y,\lambda)=xy+\lambda*(9x^{2}+16y{2}-144) [/mm] stehen. Da die Ellipse die Einschließende Nebenbedingung ist und der Flächeninhalt eines Rechtecks aus A=x*y berechnet wird.
Wieso kommt lt. Dozent 4*x*y raus?
Edit: Könnte es sein das es 4*xy ist damit es für alle Quadranten zählt?
Edit2: Ich habe einfach mal drauf losgerechnet bei aufgabe 2, ohne das 4xy sondern einfach nur mit xy
Ich erhalte für y = [mm] \bruch{3\wurzel{2}}{2} [/mm] und x = [mm] 2\wurzel{2}
[/mm]
Bei der berechnung des Flächeninhaltes erhalte ich : 6 (laut Lösung 24, was klar is da 6*4 = 24)
Jetzt stellt sich immer noch die Frage warum 4*x*y? Und wie würde ich jetzt den Bruchteil berechnen?
Gruß,
Obi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wie ermittel ich jetzt aus DIESEN werten und der
> Nebenbedingung (siehe letzte Frage). Die Schnittpunkte aus
> meiner Lösung also :[mm] S_1(3, \wurzel{3})[/mm] und
> [mm]S_2(-\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}, \bruch{3}{\wurzel{2}})[/mm]
Das hat doch Steffi in ihrem post mit der Zeichnung praktisch gesagt: du schneidest die geraden mit der Ellipse.
>
> Zur zweiten aufgabe: Den Flächeninhalt an sich berechnen
> kann ich ja, ich habe eher probleme bzw. bin verwirrt
> aufgrund der Gleichung [mm]H(x,y,\lambda)[/mm] da diese die Form
> [mm]4xy+\lambda*(9x^{2}+16y{2}-144)[/mm] hat.
>
> Meiner meinung nach müsste da:
> [mm]H(x,y,\lambda)=xy+\lambda*(9x^{2}+16y{2}-144)[/mm] stehen. Da
> die Ellipse die Einschließende Nebenbedingung ist und der
> Flächeninhalt eines Rechtecks aus A=x*y berechnet wird.
>
> Wieso kommt lt. Dozent 4*x*y raus?
>
> Edit: Könnte es sein das es 4*xy ist damit es für alle
> Quadranten zählt?
>
> Edit2: Ich habe einfach mal drauf losgerechnet bei aufgabe
> 2, ohne das 4xy sondern einfach nur mit xy
>
> Ich erhalte für y = [mm]\bruch{3\wurzel{2}}{2}[/mm] und x =
> [mm]2\wurzel{2}[/mm]
>
> Bei der berechnung des Flächeninhaltes erhalte ich : 6
> (laut Lösung 24, was klar is da 6*4 = 24)
>
> Jetzt stellt sich immer noch die Frage warum 4*x*y? Und wie
> würde ich jetzt den Bruchteil berechnen?
wie groß ist denn der Flächeninhalt des ganzen Rechtecks wenn ein Eckpunkt bei (x,y) liegt? du maximuerst 1/4 der fläche, das ist nicht falsch, dann musst du es aber dazusagen,warum das geht.
und Fläche der Ellipse sollte man kennen [mm] a*b*\pi
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ja ich hab aber gerade nicht so wirklich den "Plan" wie ich die Gerade mit der Ellipse schneiden soll. Das überfordert mich gerade ein Wenig.
Achso Bruchteil heißt einfach, Flächeninhalt der Ellipse - Flächeninhalt des Rechtecks.
Ach, dann ist meine Vermutung richtig das es mal "4" genommen wird da "6" der Flächeninhalt/Quadrant ist oder? Oder versteh ich das faslch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Funktionen schneiden sich, wenn sie an der stelle die gleichen x und y werte haben.
wann haben [mm] y=x/\wurzel{3} [/mm] und deine Ellipse [mm] 5x^2+....=48 [/mm]
denselben Wert?
gleichsetzen ist hier schlechter als einsetzen.
wie schneidest du sonst 2 Funktionen?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Acsho,
einfach für y y= [mm] \bruch{x}{\wurzel{3}} [/mm] einsetzen und ausrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
JA
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Nun noch eine frage zum Bruchteil.
Du meintest ich sollte den Flächeninhalt der Ellipse kennen.
Den kenn ich ja. Ich brauche aber dennoch a und b?
Oder nehme ich einfach das a und b vom Rechteck?
Gruß,
Obi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn a und b bei einer Ellipse? und die findest du mit Hilfe der ellipsengleichung, sicher nicht mit dem Rechteck.
Zusatz zur vorigen Frage, eine differenz ist kein Bruchteil,
wie groß ist der Bruchteil deines Taschengeldes vom Verdiesnt deines Vaters? wenn er 5000 verdient und du 50 bekommst?
4950?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Erstmal vielen dank das dus mit einem schweren fall wie mir aufnimmst...
Ich bin froh wenn ich die letzten 2 Module Mathematik an der Uni hinter mir hab. Das bricht mir irgendwann noch's bein. Und dabei war ich mal so gut in Mathe.
Bruchteil...ja, klar -.- also Flächeninhalt Ellipse / Flächeninhalt Rechteck * 100.
Die Gleichung lautet ja [mm] 9x^{2}+16y^{2}=144, [/mm] ich würde mal die Behauptung in den Raum werfen dass 144 der Flächeninhalt ist?
Ansonsten. [mm] 9x^{2} [/mm] würde wohl a sein und [mm] 16y^{2} [/mm] würde wohl b sein.
Edit: Also ich habe meine y jetzt versucht in g einzusetzen. Das ergebnis ist allerding allerdings 32x²-48, was mach ich falsch?
Hat sich erledigt. Hab mich verrechnet. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du bekommst bei so einfachen ellipsen die Achsen wenn du einmal x=0 setzt dann ist der y wert b
y=0 x Wert a.
oder du schreibst in die f
Form [mm] x^2/a^2+y^2/b^2=1 [/mm] um. d.h, du dividierst deine Gleichung durch 144
"Bruchteil...ja, klar -.- also Flächeninhalt Ellipse / Flächeninhalt Rechteck * 100. "
umgekehrt. und das wäre der Prozentsatz probier es mit dem verdienst deines Vaters aus du bekommst 1/100 seines Verdienstes und nicht 100*100 obwohl du das gern hättest!
In der Rechnung hast du einfach einen Fehler, mach sie neu und langsamer. und [mm] 32x^2-48 [/mm] ist weder ein Ergebnis das wäre x=.. , noch eine Gleichung!
Und eigentlich ist das doch Schulstoff?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Okay.
Danke!
Flächeninhalt vom Rechteck = 6*4,
Flächeninhalt von der Ellipse [mm] 12\pi [/mm] (x = 4, y=3)
Bruchteil vom Rechteck = [mm] \bruch{pi}{2}
[/mm]
Stimmt mit der Lösung überein.
Dankeschön!
Kann auch einfach daran liegen das es schon so spät is und ich deshlab nichtsmehr hinbekomme aber danke!
|
|
|
| |
|
Hallo, du bearbeitest ja zwei Aufgaben, eröffne bitte in Zukunft einen zweiten Thread, damit der Überblich erhalten bleibt, ich antworte jetzt auf diese Frage:
Gegeben ist die Ellipse [mm] 9x^{2}+16y^{2}=144. [/mm] Man bestimme dasjenige der Ellipse einbeschriebene Rechteck, das maximalen Flächeninhalt hat. Welchen bruchteil der Ellipsenfläche nimmt es ein?
betrachten wir das maximale Rechteck im 1. Quadranten
[mm] A(x)=x*\wurzel{9-\bruch{9}{16}x^2}
[/mm]
[mm] A'(x)=\wurzel{9-\bruch{9}{16}x^2}-\bruch{9x^2}{16\wurzel{9-\bruch{9}{16}x^2}}
[/mm]
[mm] 0=\wurzel{9-\bruch{9}{16}x^2}-\bruch{9x^2}{16\wurzel{9-\bruch{9}{16}x^2}}
[/mm]
[mm] 0=16(9-\bruch{9}{16}x^2)-9x^2
[/mm]
[mm] 0=144-9x^2-9x^2
[/mm]
[mm] 18x^2=144
[/mm]
[mm] x^2=8
[/mm]
somit [mm] x_1=\wurzel{8} [/mm] an dieser Stelle ist das Rechteck maximal (im 1. Quadranten)
setzt du [mm] \wurzel{8} [/mm] in die Ellipsengleichung ein, so bekommst du [mm] y_1=\wurzel{4,5}
[/mm]
das Recheck im 1. Quadranten hat somit [mm] \wurzel{8}*\wurzel{4,5}=6 [/mm] FE, das gesamte Rechteck also 24 FE
jetzt zur Ellipse, sie hat die Halbachsen a=4 und b=3, der Flächeninhalt beträgt also [mm] a*b*\pi=12\pi [/mm] FE
[mm] \bruch{A_R_e_c_h_t_e_k}{A_E_l_l_i_p_s_e}=\bruch{24}{12\pi}
[/mm]
das Rechteck nimmt also rund 63,66% der Ellipse ein
Steffi
|
|
|
|
