Steigung des Graphen.. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechne die Steigung des Graphen in den Nullstellen von f
f(x)=x³-2x²-5x+6
b) Wie groß muss der Parameter a gewählt werden, damit die Steigung an der Stelle x=2 den Wert 2 hat?
[mm] f(x)=a²x³+4ax+7a^5 [/mm] |
Hallo,
sollen bis Dienstag den 21.02 , die oben genannten Aufgaben lösen.
bei Aufgabe a) ermittelt man die Steigung ja durch die erste Ableitung.
die nullstellen sind (-2,1,3), nur mit der Ableitung bin ich im Moment noch am rätzeln.
hab mir mal so gedacht: f'(x) = 3x² - 4 - 5x^(-1) + 6
kann ich das als Ableitung nehmen um so die steigung der punkte zu berechnen?
Aufgabe b) hab ich überhaupt keine ahnung wie man da vorgeht...
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> a) Berechne die Steigung des Graphen in den Nullstellen von $f$
> [mm] $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$
[/mm]
> bei Aufgabe a) ermittelt man die Steigung ja durch die
> erste Ableitung.
> die nullstellen sind [mm] $\{-2,1,3\}$
[/mm]
Richtig!
> hab mir mal so gedacht: $f'(x) = [mm] 3x^{2} [/mm] - 4 - [mm] 5x^{-1} [/mm] + 6$
Nein, das stimmt nicht so ganz!
Du musst jeden einzelnen Summanden ableiten und zwar nach der Formel:
[mm] $(x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$.
[/mm]
Die Koeffizienten (also $-2$ oder $-5$) kannst du dabei vorziehen.
Du findest übrigens alle wichtigen  Ableitungsregeln in der MatheBank.
[mm] $(x^{3})'=3x^{2}$ [/mm] ist richtig, aber der Rest stimmt nicht, z.B. [mm] $(-2x^{2})'=-2\cdot (x^{2})'=-2\cdot [/mm] 2x=-4x$.
> kann ich das als Ableitung nehmen um so die steigung der
> punkte zu berechnen?
Richtig, wenn du die Ableitung hast, brauchst du die Nullstellen nur einzusetzen!
> b) Wie groß muss der Parameter $a$ gewählt werden, damit die
> Steigung an der Stelle $x=2$ den Wert $2$ hat?
> [mm]f(x)=a^{2}x^{3}+4ax+7a^{5}[/mm]
Hier kannst du genauso vorgehen: Du berechnest als erstes die Ableitung (beachte dabei, dass $a$ eine Konstante ist!) und setzt dann $x=2$ ein. D.h. du hast dann einen Term, in dem nur noch $a$ vorkommt (kein $x$ mehr!). Dieser Term soll gleich $2$ sein, also musst du die entstehende Gleichung nach $a$ auflösen und fertig! 
Berechne doch als erstes mal die Ableitungen von a) und b) und poste sie dann hier. Dann können wir sie nochmal kontrollieren, und du müsstest nicht mit evtl. falschen Ableitungen weiterrechnen, ok?
Wenn du irgendwo steckenbleibst, dann frag bitte nochmal nach!
MFG,
Yuma
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ok, danke für deine ausführliche Antwort, hab mal gerechnet und das ist dabei rausgekommen (denke mal, dass das richtig ist):
f'(x)= 3x²- 4x - 5
daraus ergeben sich dann folgende Steigungen:
m(-2)= 15 m(1)= -6 m(3)= 10
zur b hab ich erstmal wie du gesagt hast x=2 eingesetzt und folgendes rausbekommen:
[mm] f(x)=12a²+8+24a^4 [/mm]
müsste auch Richtig sein, da ich für a zur Kontrolle mal 5 eingesetzt habe und in den "Orginalterm" auch a=5 x=2 eingesetzt hab und beides mal 22215 raus hab.
wenn ich aber jetzt ableite, bekomm ich f´(x)= 24 + [mm] 96a^3 [/mm] raus, d.h wenn ich x gleichzetze dann bekomm ich für den parameter a = -0,6112 raus, das erscheint mir irgendwie falsch, ergibt aber, falls die o.g Ableitung stimmen sollte 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> ok, danke für deine ausführliche Antwort, hab mal gerechnet
> und das ist dabei rausgekommen (denke mal, dass das
> richtig ist):
> f'(x)= 3x²- 4x - 5
> daraus ergeben sich dann folgende Steigungen:
> m(-2)= 15 m(1)= -6 m(3)= 10
Alles richtig! 
> zur b hab ich erstmal wie du gesagt hast x=2 eingesetzt und
> folgendes rausbekommen:
>
> [mm]f(x)=12a²+8+24a^4[/mm]
Nein, da hast du mich falsch verstanden!
Wenn du zuerst $x=2$ in $f$ einsetzt, dann kannst du gar nicht mehr nach $x$ ableiten, denn [mm] $12a^{2}+8+24a^{4}$ [/mm] hängt nicht von $x$ ab (die Ableitung nach $x$ wäre also Null)
Du musst zuerst die Ableitung bilden (ohne für $x$ etwas einzusetzen).
Beim Ableiten wird $a$ wie eine feste Zahl behandelt, d.h. z.B.
[mm] $(a^{4}x^{3})'=a^{4}\cdot (x^{3})'=a^{4}\cdot 3x^{2}=3a^{4}x^{2}$.
[/mm]
Die Ableitung enthält dann natürlich $x$ und $a$.
Danach bildest du $f'(2)$, indem du $x=2$ in die Ableitung einsetzt. Jetzt hast du einen Ausdruck, in dem nur $a$ vorkommt.
Diesen setzt du nun gleich $2$ und löst die entstehende Gleichung nach $a$ auf. Jetzt klar?
MFG,
Yuma
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Ok dann bin ich ja mal froh, dass die erste Rechnung richtig ist
wenn ich bei der 2. Aufgabe zuerst die Ableitung machen muss, dann müsste
f(x)= 3a²x²+4a rauskommen oder muss ich die [mm] +7a^5 [/mm] auch noch berücksichtigen?
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ok, dann müsste ja f(x)=12a²+4a rauskommen aber wie soll ich das ganze nach 2 gleichsetzten, stehe momentan ein wenig auf dem Schlauch, dachte ich hätte schon die Lösung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> ok, dann müsste ja f(x)=12a²+4a rauskommen aber wie soll
> ich das ganze nach 2 gleichsetzten
Damit ist nur gemeint, dass du [mm] $f'(2)=12a^{2}+4a=2$ [/mm] nach $a$ auflösen sollst!
Die Ableitung ist übrigens richtig!
MFG,
Yuma
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ok, hoffe dass ich das noch schaffe, weil morgen früh ist abgabetermin:-(
also 12a²+4a=2 hab erstmal durch 4 geteilt
12a²+a=0,5 dann durch 12
a²+a= 1/24
aber jetzt weiß ich net weiter:-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 20.02.2006 | | Autor: | bjochen |
Nein das stimmt nicht ganz.
Die Gleichung sieht ja so aus:
[mm] 12a^2+4a [/mm] = 2
Zuerst solltest du auf beiden Seiten druch 12 teilen.
Nun hat [mm] a^2 [/mm] 1 als Faktor und du könntest zB die pq-Formel anwenden oder quadratisch Ergänzen.
Ich mach lieber die quadratische Ergänzung.
Hier müsstest du den Faktor von a durch 2 teilen und ihn quadrieren und diese Zahl auf beiden Seiten addieren.
sieht dann so aus:
[mm] a^2 [/mm] + 1/3 * a + 1/36 = 2/12 + 1/36
Der linke Ausdruck ist eine binomische Formel und kannst du zusammenfassen.
[mm] (a+1/6^)^2 [/mm] = 7/36
Dann Wurzel ziehen und nach a hin auflösen. ^^
Hoffe es war verständlich.
EDIT
Hab mich verrechnet...vergessen 2/12 zu rechnen...^^
thx to Yuma
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ok, danke wenn ich aus 73/36 die wurzel ziehe kommt bei mir 1,42... raus dass dann minus 1,6 ergibt -0,175899 sicher, dass dies das richtige ergbnis ist weil dachte eigentlich, dass da eine gerade zahl rauskommen wird
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
Bjochen hat seine Antwort ja gerade korrigiert:
Es muss heißen:
[mm] $12a^{2}+4a=2$
[/mm]
[mm] $\gdw a^{2}+\bruch{1}{3}a=\bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $\gdw a^{2}+\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{36}=\bruch{1}{6}+\bruch{1}{36}$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(a+\bruch{1}{6}\right)^{2}=\bruch{7}{36}$
[/mm]
[mm] $\gdw a+\bruch{1}{6}=\sqrt{\bruch{7}{36}}\\ \vee \\ a+\bruch{1}{6}=-\sqrt{\bruch{7}{36}}$
[/mm]
[mm] $\gdw a=\sqrt{\bruch{7}{36}}-\bruch{1}{6}\\ \vee \\ a=-\sqrt{\bruch{7}{36}}-\bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $\gdw a=\bruch{\sqrt{7}}{6}-\bruch{1}{6}\\ \vee \\ a=-\bruch{\sqrt{7}}{6}-\bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $\gdw a=-\bruch{1+\sqrt{7}}{6}\\ \vee \\ a=-\bruch{1-\sqrt{7}}{6}$.
[/mm]
Das [mm] $\vee$ [/mm] heißt übrigens "oder" - d.h. es gibt zwei Lösungen!
MFG,
Yuma
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Das stimmt so ... Der Term $ \ [mm] +7a^5 [/mm] \ $ ist wie eine Konstante anzusehen und entfällt daher beim Ableiten.
