Stefan-Boltzmann-Gesetz < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 15.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo liebes Forum,
ich möchte mir gerne das Stefann-Boltzmann-Gesetz grob selber herleiten.
Hier stehe ich momentan:
Ich kenne die gesamte Strahlungsleistung eines schwarzen Strahlers (über alle Frequenzen Integriert) bei einer bestimmten Temperatur T: [mm] $\(S^\circ(T)$
[/mm]
Nach meinem Verständnis beschreibt das Stefan-Boltzmann-Gesetz jetzt die gesamte Strahlungsleistung die in den Halbraum abgestrahlt wird.
Ein Halbraumelement [mm] $d\Omega$ [/mm] wird beschrieben durch
[mm] $d\Omega=\sin(\vartheta)\cdot d\vartheta\cdot d\varphi$
[/mm]
Für den Halbraum finde ich überall den Wert [mm] $\Omega=2\pi$ [/mm]
Wenn ich mir das mit dem Raumwinkel richtig vorstelle, entspricht das doch immer einer "Halbkugel" um einen Ursprung, wenn man mit dem [mm] R^2 [/mm] multipliziert (Ist ja dann auch genau die Formel für die Oberfläche einer Halbkugel).
Sollte das jetzt stimmen stoße ich auf folgendes Problem:
Bei der Berechnung im Demtröder [Band 3, S.84] und bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia wird nun noch der Faktor [mm] $\cos(\vartheta)$ [/mm] beim integrieren hinzugefügt und das als Winkel zur Flächennormale bezeichnet.
Aber irgendwie kann ich das mit meiner Vorstellung des Halbraums nicht vereinbaren, denn dann müsste jeder Strahl immer in Richtung der Flächennormale stehen.
Ich habe also die Vermutung, dass ich mir das mit dem Halbraum als "Halbkugel um den Strahler" irgendwie falsch vorstelle.
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank schon mal!
lg
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Hallo!
Das Problem ist, daß du als Strahler stets eine (kleine) Fläche betrachtest. Und die strahlt nicht isotrop, d.h. nicht in alle Richtungen gleich stark.
Betrachte alle Strahlen, die die Fläche senkrecht verlassen. Der Querschnitt dieser Flächen entspricht exakt der Größe der Fläche.
Betrachtest du nun Strahlen, die die Fläche in einen bestimmten Winkel [mm] \vartheta [/mm] verlassen, wird ihr Querschnitt wie ein gestauchtes Abbild der Fläche aussehen, und daher kleiner als die Größe der Fläche sein. Und zwar genau um den Faktor [mm] \cos\vartheta [/mm] .
Das hat also nichts mit deiner Integration oder Vorstellung vom Halbraum zu tun, sondern damit, daß die Strahlung vornehmlich senkrecht zur Oberfläche abgestrahlt wird.
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