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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mi 12.12.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deren Graph G(f) durch den Ursprung und den Punkt P(3|0) geht und im Punkt Q(1|f(1)) die Tangente t: [mm] y=-\bruch{3}{4} [/mm] besitzt. |
| Aufgabe 2 | | Die ganzrationale Funktion f hat die erste Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{2}{3}x²+\bruch{4}{3}x [/mm] und eine Nullstelle bei x=-3 |
Hallo Zusammen,
zu 1:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
U(0|0) -> f(0)=0
P(3|0) -> f(3)=0
Q(1|f(1)), t: [mm] y=-\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] f(1)=-\bruch{3}{4}=a*1³+b*1²+c*1+d=a+b+c+d [/mm] 'passt dies so? dass ich dort den y-Wert der Tangente einsetze?
f(0)=0=a*0³+b*0²+c*0+d=d -> d=0
f(3)=0=a*3³+b*3²+c*3+d= 27a+9b+3c+d
somit habe ich noch a, b und c zu bestimen aber nur zwei Gleichungen. Wie geht es weiter?
zu 2:
[mm] f'(x)=\bruch{2}{3}x²+\bruch{4}{3}x
[/mm]
Nullstelle bei x=-3 -> f(-3)=0 und f'(-3)=0
wenn ich nun f'(-3)=0 in die Ableitung einsetze: [mm] \bruch{2}{3}-3²+\bruch{4}{3}-3 [/mm] = 6 - 4 =-2 'hierbei müsste doch aber 0 rauskommen? Wo liegt der Fehler?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Du kennst an der Stelle $x \ = \ 1$ auch den Wert der 1. Ableitung durch die Steigung der angegebenen Tangentengleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 12.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
f'(x)=3ax²+2bx+c
[mm] f'(1)=-\bruch{3}{4}=3a+2b+c
[/mm]
also lauten meine drei Formeln, wobei d schon bekannt ist:
1: [mm] a+b+c=-\bruch{3}{4}
[/mm]
wobei die erste doch nicht simmen kann, die Tangente gibt nur die Steigung an also müsste dies doch dann so lauten:
Q(1|f(1))
f(1)=f(1)=a+b+c+d
wie komme ich hier dann weiter, dass ich für y den Wert erhalte?
2: 27a+9b+3c=0
3: [mm] 3a+2b+c=-\bruch{3}{4}
[/mm]
die anderen beiden stimmen, oder?
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Hallo,
eigentlich hast du alles:
1. Gleichung: Punkt (0; 0) ergibt
0=d
2. Gleichung: Punkt (3; 0) ergibt
0=27a+9b+3c
3. Gleichung: f'(1)=0 du hast eine waagerechte Tangente, also ist der Anstieg gleich Null
0=3a+2b+c
4. Gleichung [mm] f(1)=-\bruch{3}{4} [/mm] ergibt
[mm] -\bruch{3}{4}=a+b+c
[/mm]
Somit ergeben die 2., 3., und 4. Gleichung ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, löse dieses System, a= ..., b= ..., c= ...
du brauchst doch kein y,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 13.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
dies ist nun das Gleichungssystem:
1: 0=27a+9b+3c
2: 0=3a+2b+c
3: [mm] $-\bruch{3}{4}=a+b+c$
[/mm]
da bekomme ich folgendes raus:
[mm] $a=-\bruch{3}{16}$
[/mm]
[mm] $b=\bruch{9}{8}$
[/mm]
[mm] $c=-\bruch{27}{16}$
[/mm]
nur die Lösung lautet: [mm] f(x)=-\bruch{1}{3}x²+2x²-3x [/mm] nur d=0 stimmt.
Wo liegt denn der Fehler? Ich habe es hier überprüft http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm, somit stimmen meine Lösungen durch das Gleichungssystem.
Die Gleichungen stimmen wirklich alle?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Do 13.12.2007 | | Autor: | itse |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich mir den Graph anschaue, kann doch [mm] f(1)=-\bruch{3}{4} [/mm] nicht stimmen, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Mit den oben genannten Werten erhalte ich ebenfalls Dein Ergebnis!
Aber kann es sein, dass in der Aufgabenstellung für die Tangente eventuell $y \ = \ [mm] -\bruch{4}{3}$ [/mm] steht (und nicht [mm] $-\bruch{3}{4}$ [/mm] )?
Dann würde nämlich die Musterlösung stimmen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Do 13.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Loddar,
> Mit den oben genannten Werten erhalte ich ebenfalls Dein
> Ergebnis!
>
> Aber kann es sein, dass in der Aufgabenstellung für die
> Tangente eventuell [mm]y \ = \ -\bruch{4}{3}[/mm] steht (und nicht
> [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] )?
> Dann würde nämlich die Musterlösung stimmen.
Ich hab nochmal nachgeschaut und es steht da [mm] y=-\bruch{3}{4}. [/mm] Und dass bei [mm]y \ = \ -\bruch{4}{3}[/mm] die Musterlösung stimmt. Denke ich dass sich der Lehrer verschrieben hat. Kann ja mal vorkommen, so ein Zahlendreher.
Vielen Dank nochmals für die tolle Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Die Nullstelle ist von $f_$ angegeben und nicht von der genannten Ableitung $f'_$ !
Bilde also zunächst die Stammfunktion von $f'(x)_$ und bestimme damit die entstehende Integrationskonstante $c_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 12.12.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
die Nullstelle ist von f angegeben also wenn x=-3 dann y=0, doch müsste dann in diesem Punkt doch auch die Steigung Null sein, oder? Und f' ist ja nichts anderes, als die Tangentensteigungsfunktion von x anhängig. Oder versteh ich da was falsch?
Wie bilde ich denn eine Stammfunktion? Ich hab dazu leider keine Regeln im Internet gefunden. Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Do 13.12.2007 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
ich habe mir nun mal gedacht, dass die Stammfunktion bilden nichts anders ist, als das Ableiten umzukehren also aufzuleiten oder integrieren.
[mm] $f(x)=ax^n [/mm] = nax^(n-1)$
$f'(x) = [mm] \bruch{a}{n+1}x^{n+1}$
[/mm]
kennt jemand dazu eine verständliche Seite, die die Regeln beinhaltet? Integralrechnung hatten wir noch nicht.
wenn ich dies anwende bekomme ich als Stammfunktion:
[mm] f(x)=\bruch{2}{9}x³+\bruch{2}{3}x²
[/mm]
wenn ich dann die Nullstelle einsetze x=-3
[mm] f(-3)=0=\bruch{2}{9}(-3)³+\bruch{2}{3}(-3)²=0
[/mm]
somit müsste dies doch stimmen?
Was ich mir aber noch immer nicht erklären kann, die Ableitung ist nichts anderes als die Tangentensteigungsfunktion einer beliebigen Funktion. Wenn diese Funktion bei x=-3 eine Nullstelle hat, muss doch dort die Steigung auch Null sein, oder?
f'(-3)=0
[mm] f'(-3)=0=\bruch{2}{3}(-3)²+\bruch{4}{3}(-3)=2
[/mm]
somit ist die Steigung nicht null sondern 2 im Punkt (-3|0). Somit kann man nicht pauschal sagen, dass wenn Nullstelle vorliegt auch dort die Steigung Null ist, oder? Der Graph kann die x-Achse zwar in einem speziellen Punkt schneiden kann aber trotzdem steigen oder falllen. Ist diese Erkenntnis dann richtig.
Ich hatte noch eine ander Aufgabe und da was dies so, da war die Rede von doppelten Nullstellen. Was ist das? Und vor allem wie kriege ich solche raus?
Vielen Dank, itse.
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Hallo,
du hast in deiner Stammfunktion c vergessen,
[mm] F(x)=\bruch{2}{9}x^{3}-\bruch{2}{3}x^{2}+c
[/mm]
die Variable c brauchen wir noch, jetzt kommt die Information, F(-3)=0
[mm] 0=\bruch{2}{9}(-3)^{3}-\bruch{2}{3}(-3)^{2}+c
[/mm]
diese Gleichung führt auf dein c,
du steckst immer noch in dem Denkfehler, die gesuchte Funktion F(x) hat an der Stelle x=-3 eine Nullstelle, nicht die Ableitung
Steffi
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:14 Do 13.12.2007 | | Autor: | itse |
die Stammfunktion lautet so:
[mm] F(x)=\bruch{2}{9}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x^{2}+c
[/mm]
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Hallo,
die Stammfunktion F(x) hat an der Stelle x=-3 eine Nullstelle, die Stammfunktion hast du ja bis auf c korrekt berechnet,
Steffi
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