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| Aufgabe | Ein Reifenhersteller verändert die Zusammensetzung der Gummimischung für seinen Premium-Reifen und vergleicht in einer Versuchsreihe die Laufleistung (in 1000km) des neuen (PR2) und des alten (PR1) Reifens. Nachfolgend finden Sie den Output der zugehörigen linearen Regression in R.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Wie viele Beobachtungen liegen dieser Analyse zu Grunde?
b) Welche mittlere Laufleistung haben die beiden Reifentypen?
c) Berechnen Sie die fehlende t-Statistik der Variable Reifenart.
d) Berechnen Sie die fehlende F-Statistik.
e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, die Nullhypothese (die Wahl der Reifenart hat keinen Einfluss auf die Laufleistung) abzulehnen, obwohl sie zutrifft? |
Hallo Matheraum!
Über eine Korrekturlesung meiner Lösungsvorschläge würde ich mich sehr freuen.
In der ersten Zeile unter "Call" kann ich ablesen, dass die Laufleistung durch [mm] \beta_{0} [/mm] gezeigt wird, während die neue Reifenart (PR2) durch [mm] \beta_{1} [/mm] repräsentiert wird.
Wir erhalten also die folgende lineare Gestalt:
[mm] y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{i}. [/mm]
Mit anderen Worten: es handelt sich hier offenbar um eine lineare Regression mit einer Konstanten. Nachfolgend gilt also p=1, da wir ein Modell mit einem Regressor behandeln.
zu a) Wir können zunächst das Bestimmtheitsmaß [mm] R^{2} [/mm] zu 0.0969 sowie das korrigierte Bestimmtheitsmaß [mm] \overline{R}^{2} [/mm] zu 0.08532 ablesen.
Durch Umstellen der Formel für das korrigierte Bestimmtheitsmaß
[mm] \overline{R}^{2}=1-\bruch{n-1}{n-p-1}(1-R^{2}), [/mm] mit p=1 errechne ich die Anzahl der Beobachtungen zu n=80.
zu b) Hier komme ich leider nicht ganz zum Ziel. Irgendwie müsste aber die Lösung dieser Aufgabe in dem Intercept-Wert=38.9500 [mm] (\beta_{0}) [/mm] liegen, da man in der zweiten Zeile der R-Ausgabe ablesen kann, dass die Laufleistung durch y gezeigt wird.
Mir ist aber nicht klar, wie ich von diesem Wert aus auf die mittlere Laufleistung beider Reifenarten schliessen kann. Über eine kleine Hilfestellung an dieser Stelle würde ich mich freuen.
zu c) Wir können der R-Ausgabe die Standardabwichung der Variable Reifenart zu 1.2444 entnehmen. Im Zuge von
[mm] t_{\beta_{1}}=\bruch{\beta_{1}}{\sigma^{Dach}} \sim [/mm] t(n-p-1)
erhalte ich für [mm] t_{\beta_{1}}\approx2.893
[/mm]
zu d) Durch
[mm] F=\bruch{R^{2}}{1-R^{2}}-\bruch{n-p-1}{p}\sim [/mm] F(p,n-p-1)
erhalte ich durch Einstzen von [mm] R^{2}=0.0969, [/mm] n=80 und p=1 erhalte ich die F-Statistik zu [mm] \approx8.37
[/mm]
zu e) Hier würde ich sagen, dass der p-Wert der F-Verteilung bereits die Lösung zu 0.004945 angibt.
Es wäre nett, wenn jemand mal über die Ergebnisse schauen könnte und vielleicht auch etwas zur Aufgabe b) sagen könnte. Vielen Dank schon einmal!
Gruß, Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 05.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Nach wie vor bin ich an einer Antwort interessiert.  Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Fr 05.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
Zu b)
| 1: | R> ?t.test
| | 2: | R> summary(lm(extra~group,data=sleep))
| | 3: | R> t.test(extra ~ group, data = sleep)
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Bei e) hast du eine sinnvolle Antwort auf eine sinnlose Frage gegeben.
Auch der Rest sieht gut aus ...
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Moin Marcel,
>
> Zu b)
>
> | 1: | R> ?t.test
| | 2: | > R> summary(lm(extra~group,data=sleep))
| | 3: | > R> t.test(extra ~ group, data = sleep)
| | 4: | > |
Könntest du mir vielleicht einen Anhaltspunkt geben, wie man die gesuchten Werte anhand der R-Ausgabe sehen, bzw. errechnen kann? Nach welcher statistischen Größe sucht man hier im Allgemeinen?
Ich würde zunächst gern über ein gewisses statistisches Grundverständnis verfügen, ehe ich sämtliche Algorithmen durch R berechnen lasse.
> Bei e) hast du eine sinnvolle Antwort auf eine sinnlose
> Frage gegeben.
>
> Auch der Rest sieht gut aus ...
>
> vg Luis
Vielen Dank soweit!
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Sa 06.02.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Könntest du mir vielleicht einen Anhaltspunkt geben, wie
> man die gesuchten Werte anhand der R-Ausgabe sehen, bzw.
> errechnen kann? Nach welcher statistischen Größe sucht
> man hier im Allgemeinen?
Bitte konkretisiere deine Schwierigkeiten? Viele der Werte
hast du ja bereits selber nachvollzogen. Ansonsten empfehle ich
@book{dalgaard2008introductory,
title={{Introductory statistics with R}},
author={Dalgaard, P.},
year={2008},
publisher={Springer Verlag}
}
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Luis,
es geht ganz konkret um die Frage b):
Welche mittlere Laufleistung haben die beiden Reifentypen?
Welche statistische Größe wird hirbei gesucht? Wie kann man durch Sehen oder Rechnen diese Frage beantworten?
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Sa 06.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
>
> es geht ganz konkret um die Frage b):
>
>
> Welche mittlere Laufleistung haben die beiden Reifentypen?
>
>
>
> Welche statistische Größe wird hirbei gesucht? Wie kann
> man durch Sehen oder Rechnen diese Frage beantworten?
>
So ohne Kristallkugel ist das aus der Ferne schwer zu sagen. Der Aufruf lm(formula=Laufleistung~Reifenart) deutet auf Folgendes hin. Laufleistung beinhaltet Messungen [mm] $y_1,\dots,y_{80}$ [/mm] *beider* Reifenarten und Reifenart *koennte* eine Dummyvariable mit Werten [mm] $x_1,\dots,x_{80}$ [/mm] sein mit 0 fuer PR2 und 1 fuer PR1.
lm schaetzt das Regressionsmodell [mm] $Y=\beta_1 +\beta_2x+U$ [/mm] nach der KQ-Methode. Dazu wird [mm] $\sum_{i=1}^{80}(y_i-b_1-b_2x_i)^2$ [/mm] bzgl. [mm] $b_1,b_2$ [/mm] minimiert. Frage an dich: Was sind die Loesungen dieses Minimierungsproblems?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> > Hallo Luis,
> >
> >
> > es geht ganz konkret um die Frage b):
> >
> >
> > Welche mittlere Laufleistung haben die beiden Reifentypen?
> >
> >
> >
> > Welche statistische Größe wird hirbei gesucht? Wie kann
> > man durch Sehen oder Rechnen diese Frage beantworten?
> >
> So ohne Kristallkugel ist das aus der Ferne schwer zu
> sagen.
Sorry, so war das nicht gemeint. Die meisten Aufgaben aus den älteren Klausuren werden im Verhältnis zu der Gesamtpunktzahl mit sehr wenigen Punkten vergütet, sodass der Rechenaufwand pro Aufgabe recht klein ausfällt. Manchmal kann man die Lösung schon durch bloßes "Sehen" bekommen.
Der Aufruf
> lm(formula=Laufleistung~Reifenart) deutet auf
> Folgendes hin. Laufleistung beinhaltet
> Messungen [mm]y_1,\dots,y_{80}[/mm] *beider* Reifenarten und
> Reifenart *koennte* eine Dummyvariable mit
> Werten [mm]x_1,\dots,x_{80}[/mm] sein mit 0 fuer PR2 und 1 fuer
> PR1.
>
> lm schaetzt das Regressionsmodell [mm]Y=\beta_1 +\beta_2x+U[/mm]
> nach der KQ-Methode. Dazu wird
> [mm]\sum_{i=1}^{80}(y_i-b_1-b_2x_i)^2[/mm] bzgl. [mm]b_1,b_2[/mm] minimiert.
> Frage an dich: Was sind die Loesungen dieses
> Minimierungsproblems?
Die hier zu minimierende Funktion ist die Summe der quadrierten Residuen? Dann würde ich wie folgt vorgehen:
[mm] \bruch{\partial(SSR(b_{1},b_{2}))}{\partial(b_{1})}=-2*\summe_{i=1}^{80}(y_{i}-b_{1}-b_{2}x_{i})=0
[/mm]
(1) [mm] \Rightarrow\summe_{i=1}^{80}y_{i}=80*b_{1}+b_{2}*\summe_{i=1}^{80}x_{i} [/mm]
[mm] \bruch{\partial(SSR(b_{1},b_{2}))}{\partial(b_{2})}=-2*\summe_{i=1}^{80}(y_{i}-b_{1}-b_{2}x_{i})x_{i}=0
[/mm]
(2) [mm] \Rightarrow\summe_{i=1}^{80}x_{i}*y_{i}=b_{1}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}+b_{2}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}^{2} [/mm]
Durch Auflösen der Gleichungen (1), bzw. (2) erhalte ich dann die KQ-Schätzer [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] jeweils zu
[mm] b_{1}=\overline{y}-b_{2}\overline{x} [/mm] und [mm] b_{2}=\bruch{\summe_{i=1}^{80}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}, [/mm] mit [mm] \overline{x}=\bruch{1}{80}*\summe_{i=1}^{80}x_{i} [/mm] sowie [mm] \overline{y}=\bruch{1}{80}*\summe_{i=1}^{80}y_{i}
[/mm]
Hoffe mal, dass das jetzt auch so stimmt.
> vg Luis
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Sa 06.02.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> Sorry, so war das nicht gemeint. Die meisten Aufgaben aus
> den älteren Klausuren werden im Verhältnis zu der
> Gesamtpunktzahl mit sehr wenigen Punkten vergütet, sodass
> der Rechenaufwand pro Aufgabe recht klein ausfällt.
> Manchmal kann man die Lösung schon durch bloßes "Sehen"
> bekommen.
So ist es auch hier.
>
>
> Die hier zu minimierende Funktion ist die Summe der
> quadrierten Residuen? Dann würde ich wie folgt vorgehen:
>
>
> [mm]\bruch{\partial(SSR(b_{1},b_{2}))}{\partial(b_{1})}=-2*\summe_{i=1}^{80}(y_{i}-b_{1}-b_{2}x_{i})=0[/mm]
>
> (1)
> [mm]\Rightarrow\summe_{i=1}^{80}y_{i}=80*b_{1}+b_{2}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{\partial(SSR(b_{1},b_{2}))}{\partial(b_{2})}=-2*\summe_{i=1}^{80}(y_{i}-b_{1}-b_{2}x_{i})x_{i}=0[/mm]
>
> (2)
> [mm]\Rightarrow\summe_{i=1}^{80}x_{i}*y_{i}=b_{1}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}+b_{2}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}^{2}[/mm]
>
>
>
> Durch Auflösen der Gleichungen (1), bzw. (2) erhalte ich
> dann die KQ-Schätzer [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] jeweils zu
>
>
> [mm]b_{1}=\overline{y}-b_{2}\overline{x}[/mm] und
> [mm]b_{2}=\bruch{\summe_{i=1}^{80}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}},[/mm]
> mit [mm]\overline{x}=\bruch{1}{80}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}[/mm] sowie
> [mm]\overline{y}=\bruch{1}{80}*\summe_{i=1}^{80}y_{i}[/mm]
>
>
>
> Hoffe mal, dass das jetzt auch so stimmt.
Das stimmt zwar in dieser Allgemeinheit, loest aber nicht dein spezielles Problem, naemlich warum R [mm] $\hat\beta_1=38.95$ [/mm] und [mm] $\hat\beta_2=3.6$ [/mm] ausgibt.
Teile die Summe mal in zwei Teile: $ [mm] \sum_{i=1}^{80}(y_i-b_1-b_2x_i)^2$ [/mm] mal in zwei Teile: Einen mit [mm] $x_i=0$ [/mm] und einen mit [mm] $x_i=1$.
[/mm]
Ohne Notationsoverkill kannst du dann schreiben:
$ [mm] \sum_{i=1}^{80}(y_i-b_1-b_2x_i)^2= \sum(y_i-b_1)^2+ \sum(y_i-b_1-b_2)^2$. [/mm]
2 Fragen:
1) Angenommen das minimierende [mm] $\hat\beta_1$ [/mm] ist gefunden. Wie sieht dann das minimierende [mm] $\hat\beta_2$ [/mm] aus, also der die zweite Summe minimierende Wert?
2) Wie sieht [mm] $\hat\beta_1$ [/mm] aus?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> >
> > Sorry, so war das nicht gemeint. Die meisten Aufgaben aus
> > den älteren Klausuren werden im Verhältnis zu der
> > Gesamtpunktzahl mit sehr wenigen Punkten vergütet, sodass
> > der Rechenaufwand pro Aufgabe recht klein ausfällt.
> > Manchmal kann man die Lösung schon durch bloßes "Sehen"
> > bekommen.
>
> So ist es auch hier.
>
> >
> >
> > Die hier zu minimierende Funktion ist die Summe der
> > quadrierten Residuen? Dann würde ich wie folgt vorgehen:
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{\partial(SSR(b_{1},b_{2}))}{\partial(b_{1})}=-2*\summe_{i=1}^{80}(y_{i}-b_{1}-b_{2}x_{i})=0[/mm]
> >
> > (1)
> >
> [mm]\Rightarrow\summe_{i=1}^{80}y_{i}=80*b_{1}+b_{2}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{\partial(SSR(b_{1},b_{2}))}{\partial(b_{2})}=-2*\summe_{i=1}^{80}(y_{i}-b_{1}-b_{2}x_{i})x_{i}=0[/mm]
> >
> > (2)
> >
> [mm]\Rightarrow\summe_{i=1}^{80}x_{i}*y_{i}=b_{1}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}+b_{2}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}^{2}[/mm]
> >
> >
> >
> > Durch Auflösen der Gleichungen (1), bzw. (2) erhalte ich
> > dann die KQ-Schätzer [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] jeweils zu
> >
> >
> > [mm]b_{1}=\overline{y}-b_{2}\overline{x}[/mm] und
> >
> [mm]b_{2}=\bruch{\summe_{i=1}^{80}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}},[/mm]
> > mit [mm]\overline{x}=\bruch{1}{80}*\summe_{i=1}^{80}x_{i}[/mm] sowie
> > [mm]\overline{y}=\bruch{1}{80}*\summe_{i=1}^{80}y_{i}[/mm]
> >
> >
> >
> > Hoffe mal, dass das jetzt auch so stimmt.
>
> Das stimmt zwar in dieser Allgemeinheit, loest aber nicht
> dein spezielles Problem, naemlich warum R [mm]\hat\beta_1=38.95[/mm]
> und [mm]\hat\beta_2=3.6[/mm] ausgibt.
>
> Teile die Summe mal in zwei Teile:
> [mm]\sum_{i=1}^{80}(y_i-b_1-b_2x_i)^2[/mm] mal in zwei Teile: Einen
> mit [mm]x_i=0[/mm] und einen mit [mm]x_i=1[/mm].
> Ohne Notationsoverkill kannst du dann schreiben:
>
> [mm]\sum_{i=1}^{80}(y_i-b_1-b_2x_i)^2= \sum(y_i-b_1)^2+ \sum(y_i-b_1-b_2)^2[/mm].
>
> 2 Fragen:
>
> 1) Angenommen das minimierende [mm]\hat\beta_1[/mm] ist gefunden.
> Wie sieht dann das minimierende [mm]\hat\beta_2[/mm] aus, also der
> die zweite Summe minimierende Wert?
Für (2) hätte man mit gegebenen [mm] b_{1}
[/mm]
(2) [mm] min\summe_{}^{}(y_{i}-b_{1}-b_{2})^{2}=\limes_{b_{2}\rightarrow(y_{i}-b_{1})}\summe_{}^{}(y_{i}-b_{1}-b_{2})^{2}=0, [/mm] mit [mm] b_{1}=const. [/mm] und [mm] b_{2}=y_{i}-b_{1}
[/mm]
> 2) Wie sieht [mm]\hat\beta_1[/mm] aus?
Umstellen nach [mm] b_{1} [/mm] und anschließendes Einsetzen in (1) liefert dann
(1) [mm] min\summe_{}^{}(y_{i}-b_{1})^{2}=min\summe_{}^{}(y_{i}-(y_{i}-b_{2}))^{2}=min\summe_{}^{}b_{2}^{2}=\limes_{b_{2}\rightarrow0}\summe_{}^{}b_{2}^{2}=0, [/mm] mit [mm] b_{1}=y_{i}-b_{2} [/mm] und [mm] b_{2}=0
[/mm]
Schließlich hätte man dann für die KQ-Schätzer
[mm] b_{1}=y_{i} [/mm] und
[mm] b_{2}=0 [/mm] ?
> vg Luis
>
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 06.02.2010 | | Autor: | luis52 |
Leider vV: Vollkommen falsch!
Ich formuliere das Problem mal allgemeiner: Welcher Wert [mm] $\hat [/mm] m$ minimiert [mm] $\sum_{i=1}^{n}(y_i-m)^2$ [/mm] fuer gegebene Werte [mm] $y_1,\dots,y_n$? [/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
> Leider vV: Vollkommen falsch!
>
> Ich formuliere das Problem mal allgemeiner: Welcher Wert
> [mm]\hat m[/mm] minimiert [mm]\sum_{i=1}^{n}(y_i-m)^2[/mm] fuer gegebene
> Werte [mm]y_1,\dots,y_n[/mm]?
Na ja, die Summe wird genau dann minimal, wenn [mm] m=y_{i} [/mm] ist. Dann wird jeder einzelne Summand 0 und somit auch die Summe, oder nicht?
> vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 06.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Na ja, die Summe wird genau dann minimal, wenn [mm]m=y_{i}[/mm] ist.
> Dann wird jeder einzelne Summand 0 und somit auch die
> Summe, oder nicht?
>
Du musst *einen* Wert finden, nicht schlimmstenfalls $n_$! Wie wird [mm] $(1-m)^2+(3-m)^2$ [/mm] minimal?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
>
> > Na ja, die Summe wird genau dann minimal, wenn [mm]m=y_{i}[/mm] ist.
> > Dann wird jeder einzelne Summand 0 und somit auch die
> > Summe, oder nicht?
> >
>
>
> Du musst *einen* Wert finden, nicht schlimmstenfalls [mm]n_[/mm]!
> Wie wird [mm](1-m)^2+(3-m)^2[/mm] minimal?
[mm] (1-m)^{2}+(3-m)^{2}=0, [/mm] mit [mm] m_{1}=2+j [/mm] oder [mm] m_{2}=2-j [/mm] und [mm] j\in\IC
[/mm]
Das wird wohl aber auch, angesichts des komplexen Zahlenbereichs, Blödsinn sein. Beschränkt man sich auf den reellen Zahlenbereich, so hätte man
[mm] min((1-m)^{2}+(3-m)^{2})=2, [/mm] mit m=2 und [mm] m\in\IR
[/mm]
Ich denke, dass man dann eher einen Mittelwert oder eine halbe Länge vom Vektor [mm] y=\vektor{y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}} [/mm] benötigt, etwa [mm] \bruch{1}{2}*|y_{i}|=\bruch{1}{2}*\wurzel{y_{1}^{2}+,\dots,+y_{n}^{2}}.
[/mm]
oder (hierzu tendiere ich stärker)
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i}=\overline{y}
[/mm]
Sicherlich macht es in dieser Angelegenheit nur Sinn, wenn man sich auf den reellen Zahlenbereich beschränkt. Somit würde ich auch sagen, dass man den Schätzer zu
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i}=\overline{y} [/mm]
wählen sollte.
> vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 06.02.2010 | | Autor: | luis52 |
>
>
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}y_{i}=\overline{y}[/mm]
>
>
Stimmt. Und das kann man auch leicht zeigen: Leite [mm] $\psi(m)=\sum(y_i-m)^2$ [/mm] nach $m_$ ab, setze die Ableitung gleich Null und bestimme [mm] $\hat m=\bar [/mm] y$.
Wir wissen somit, dass gilt [mm] $\hat\beta_2=\bar y_2-\hat\beta_1$ [/mm] die zweite Summe minimiert, worin [mm] $\bar y_2$ [/mm] das arithmetische Mittel der Laufzeiten der zweiten Reifensorte ist. Andererseits ist [mm] $\hat\beta_1=\bar y_1$ [/mm] das arithmetische Mittel der Laufzeiten der ersten Reifensorte. Und genau das gibt R aus: [mm] $\hat\beta_1=\bar y_1=38.95$ [/mm] und [mm] $\hat\beta_2=\bar y_2-\hat\beta_1=\bar y_2-\bar y_1=3.6$.
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank, insbesondere für deine Geduld.
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