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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Di 18.12.2007 | | Autor: | sonius |
| Aufgabe | Es ist nach der Euro Münzen Verteilung zwischen Deutschland, Frankreich und sonstigen Länder gefragt.
Übergangsmatrix:
A = [mm] \pmat{ 0,88 & 0,06 &0,15 \\ 0,06 & 0,9 &0,05 \\ 0,06 & 0,04 &0,8}
[/mm]
Untersuchen sie, ob es eine Stationäre Verteilung der Münzen auf die 3 Gebiete gibt, und geben Sie diese ggfs. an.
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Hallo,
meine Frage ist nun ganz banal, wie kann ich das Berechen?
Leider habe ich mit Matrizen recht lange nicht mehr gerechnet, so das mir die Weiterführung des Ansatzes, vielleicht aber auch noch mehr, fehlt.
Nun zur Aufgabe:
Es ist ja nach dem Fixvektor gefragt, also nach einem Vektor, welcher multipliziert mit dem Übergangsvektor, sich selbst ergibt: [mm] \vec{A}*x=x
[/mm]
Spontaner, erster Gedanke: A = 1
Was mir aber nicht Helfen dürfte.
Also wieder der Ursprüngliche Ansatz:
[mm] \pmat{ 0,88 & 0,06 &0,15 \\ 0,06 & 0,9 &0,05 \\ 0,06 & 0,04 &0,8} [/mm] * [mm] \pmat{ a \\ b \\ c} =\pmat{ a \\ b \\ c} [/mm]
Das dann als Gleichung:
0.88a+0.06b+0.15c=a
0.06a+0.90b+0.05c=b
0.06a+0.04b+0.80c=c
Und weiter komme ich nicht, wenn ich nun versuche das ganze zu lösen, habe ich immer so nette sachen wie 0.56b=0.1b oder vergleichbare Sachen.
Ich denke, dass der Fehler beim [mm] \pmat{ a \\ b \\ c} [/mm] liegt, aber wie geht es richtig?
Ich hoffe man kann mir Helfen.
Grüße
Sonius
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 18.12.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Sonius,
was Du suchst ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Bei einer Übergangsmatrix wie der von Dir vorgegebenen
gibt es einen Satz der besagt, dass mindestens ein
eindimensionaler Eigenraum dieser Art vorhanden ist.
Aber zu der von Dir erfragten Weiterführung des Ansatzes:
Sei A die von Dir eingegebene Matrix und [mm] v=(a,b,c)^\top.
[/mm]
Wie Du schon richtig schreibst suchst Du ein v mit
[mm]Av=v[/mm], wobei noch a+b+c=1 gefordert werden sollte.
Sei E die diagonale Einheitsmatrix. Dann kannst Du doch
auch schreiben...
[mm]Av=Ev[/mm]
[mm]Av-Ev=0[/mm]
[mm](A-E)v=0[/mm]
Damit hast Du Dein Eigenwertproblem auf ein einfaches LGS
reduziert, dessen Lösung mindestens einen eindimensionalen
Raum umfasst.
Liebe Grüße,
Markus.
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