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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 So 05.02.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Zwei identische homogene (sehr dünne) Kanthölzer $AB$ und $AC$ der Massen $M$ und den Längen $L$ stehen wie in der Skizze gezeigt gegeneinander geneigt auf dem Boden und stützen sich gegenseitig. Zum Boden sollen sie jeweils einen Winkel von [mm] $\alpha [/mm] = 30°$ einnehmen. Das Profil am Punkt A sei so geschnitten, dass die beiden Hölzer horizontal gegeneinander drücken, am Boden sollen sie waagerecht aufliegen. Reibung am Punkt $A$ soll vernachlässigt werden.
Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient [mm] $\mu_H$ [/mm] zwischen Holz und Boden mindestens sein, damit diese
Konstruktion stehenbleibt? |
Hallo, ich wäre euch sehr verbunden wenn
mir jemand die Richtigkeit/ Falschheit des Ergebnisses mitteilen könnte und wie immer (falls das Ergebnis falsch ist) Tipps zur Korrektur geben.
Also ich habe wie folgt begonnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ANMERKUNG: [mm] $\vartheta \equiv \theta$, [/mm] mit [mm] $\theta [/mm] = 90° - 30°$!
[mm]Gl.1[/mm][mm] \qquad[/mm] [mm] \sum_i F_{x_i} = F_H\,\vec{e}_x - F_R\,\vec{e}_x = 0 [/mm]
[mm]Gl.2[/mm][mm] \qquad[/mm] [mm] \sum_i F_{z_i} = F_N\,\vec{e}_z - G\,\vec{e}_z = 0 [/mm]
[mm]Gl.3[/mm][mm] \qquad[/mm] [mm] \sum_i \vec M_{\alpha} = \sum_i \vec {L}_i \times \vec{F}_i = 0; \qquad \vec{e}_{\alpha} \perp \vec {L}_i [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]\sum_i \vec M_{\alpha} = - \left(\bruch{1}{2}L\,\sin\theta\right)\,m\,g\,\vec{e}_{\alpha} + \left( L\,\cos\,\theta \right)\,F_R\,\vec{e}_{\alpha} [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left(\bruch{1}{2}L\,\sin\theta\right)\,m\,g\,\vec{e}_{\alpha} = \left( L\,\cos\,\theta \right)\,F_R \qquad \gdw \qquad F_R = \bruch{1}{2}\,\bruch{L\,\sin\theta\,m\,g}{L\,\cos\,\theta} \qquad \gdw \qquad F_R = \bruch{1}{2}\,m\,g\,\tan\theta[/mm]
In $Gl.1$ eingesetzt erhalte ich für [mm] $F_H$:
[/mm]
[mm]F_H = \bruch{1}{2}\,m\,g\,\tan\theta[/mm]
Aber natürlich auch
[mm]F_H := \mu_H\,F_N[/mm]
In $Gl.2$ finde ich über die Normalkraft [mm] $F_N [/mm] = [mm] m\,g$ [/mm] und ersetze entsprechend:
[mm]F_H = \mu_H\,m\,g[/mm]
Dann müsste der Haftreibungskoeffizient
[mm]F_H = \bruch{1}{2}\,m\,g\,\tan\theta = \mu_H\,m\,g[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]\mu_H = \bruch{1}{2}\tan\theta \approx 0,87[/mm]
Stimmt das Ergebnis? Wie steht's mit den Vorzeichen, stimmen die? Und muss ich evtl. die Betrachtung auf das komplette Konstrukt (beide Kanthölzer) erweitern?
Allerdings erhalte ich dann einen sehr seltsamen [mm] $\mu_H$, [/mm] der sehr groß ist!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 06.02.2012 | | Autor: | murmel |
Hat keiner eine Idee? Oder ist die Aufgabe zu simpel (für andere) als das man sie (mir) erklären muss?
Wäre wirklich sehr hilfreich, wenn sich jemand "erbamen" würde . Schade, dachte jemand würde mich an seinem Wissen teilhaben lassen.
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Moin murmel!
Zunächst mal: nette Skizze. Solche sieht man hier leider viel zu selten, obwohl OpenOffice Draw doch so einfach zu bedienen ist :o)
Weiter: Warum schreibst Du das ganze vektoriell? Das ist doch hier völlig uninteressant und macht nur Arbeit. Ich würde die ganzen Einheitsvektoren weglassen - sie bieten keine Information, sondern höchstens potentielle Fehlerquellen (beim Umstellen z.B.).
Noch was vorweg: Ich würde es zu Beginn der Rechnung immer angeben, ob und wenn ja welche Symmetrieeigenschaften ausgenutzt werden. Du hast hier nur das linke rechtwinklige Dreieck betrachtet. Die Angabe dessen, ist von Vorteil für andere Betrachter bzw. spätere Betrachtung.
> [mm]Gl.1[/mm][mm] \qquad[/mm] [mm]\sum_i F_{x_i} = F_H\,\vec{e}_x - F_R\,\vec{e}_x = 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]Gl.2[/mm][mm] \qquad[/mm] [mm]\sum_i F_{z_i} = F_N\,\vec{e}_z - G\,\vec{e}_z = 0[/mm]
> [mm]Gl.3[/mm][mm] \qquad[/mm] [mm]\sum_i \vec M_{\alpha} = \sum_i \vec {L}_i \times \vec{F}_i = 0; \qquad \vec{e}_{\alpha} \perp \vec {L}_i [/mm]
, hilft aber erstmal nicht viel weiter, da das ja immer gilt - macht also nur Arbeit. Ich würde gleich die spezielle (nachfolgende) Glg. aufstellen.
> [mm]\sum_i \vec M_{\alpha} = - \left(\bruch{1}{2}L\,\sin\theta\right)\,m\,g\,\vec{e}_{\alpha} + \left( L\,\cos\,\theta \right)\,F_R\,\vec{e}_{\alpha}[/mm]
Prinzipiell , aber:
1. Es fehlt die Angabe, dass diese Summe Null ist (oben hast Du es noch).
2. Für alle, die es später mal verstehen wollen (Du selbst, andere Eleven, korrigierende Lehrer ect.), ist die Angabe des Momentendrehpunktes ([mm]\alpha[/mm] ist ja wohl kaum ein Punkt) und des Drehesinns jedoch ungemein hilfreich.
Ich würde es so schreiben:
[mm]\sum M_{B}^\curvearrowleft = 0 = - \bruch{1}{2}L\,m\,g\,\sin\theta + L\,F_R\,\cos\,\theta[/mm]
> [mm]\left(\bruch{1}{2}L\,\sin\theta\right)\,m\,g\,\vec{e}_{\alpha} = \left( L\,\cos\,\theta \right)\,F_R[/mm]
Prinzipiell , nur hast Du hier in der Tat den Einheitsvektor auf der rechten Seite vergessen.
> [mm]F_H := \mu_H\,F_N[/mm]
Nicht ganz, eigentlich lautet die Beziehung:
[mm]F_H \leq \mu_H\,F_N[/mm]
Der Rest ist meines Erachtens auch richtig.
> Stimmt das Ergebnis?
Ich komme auf das gleiche Ergebnis. Unter Beachtung meiner Anmerkung zur Haftreibung erhält man natürlich:
[mm]\mu_H \geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
> Wie steht's mit den Vorzeichen, stimmen die?
Ja!
> Und muss ich evtl. die Betrachtung auf das komplette Konstrukt (beide Kanthölzer) erweitern?
Nichts muss - alles kann. Wie auch sonst führen auch in der Statik meist ziemlich viele Wege nach Berlin ... äh ... Rom.
Natürlich kannst Du die gleiche Rechnung mit dem vollen Gerüst vollführen, musst dann allerdings im Punkt C auch eine Haftreibungskraft (selber Betrag aber entgegengesetzte Richtung wie [mm]F_H[/mm]) und im Punkt A eine zu [mm]F_R[/mm] entgegengesetzt wirkende, gleichgroße Kraft ansetzen. Wenn man sich das kurz durchdenkt, sieht man, dass es auf's Gleich hinausläuft, nur halt viel komplizierter zu rechnen ist. Deswegen macht man sich ja Symmetrien zu Nutze.
> Allerdings erhalte ich dann einen sehr seltsamen [mm]\mu_H[/mm], der sehr groß ist!
Glaub' ich nicht. Zeig mal!
Gruß - Kalle.
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