Startwerte Newton-Verfahren < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 10.05.2015 | | Autor: | Twixi |
| Aufgabe | | Für welche Startwerte von [mm] x_0 [/mm] konvergiert das Newton-Verfahren zur Minimierung von f(x)= x−ln(|x|), x ∈ [mm] R\{0} [/mm] gegen das lokale Minimum bei x = 1? |
Hallo an alle,
kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe weiterhelfen?
Ich habe irgendwie keine Idee, wie ich daran gehen soll. Würde mich wirklich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Twixi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für welche Startwerte von [mm]x_0[/mm] konvergiert das
> Newton-Verfahren zur Minimierung von f(x)= x−ln(|x|), x
> ∈ [mm]R\{0}[/mm] gegen das lokale Minimum bei x = 1?
> Hallo an alle,
>
> kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe
> weiterhelfen?
Das Newtonverfahren zur Bestimmung der
Nullstelle einer Funktion g(x) konvergiert, wenn
[mm]\vmat{\bruch{g\left(x\right)g''\left(x\right)}{\left(g'\left(x\right)\right)^{2}}< 1[/mm]
> Ich habe irgendwie keine Idee, wie ich daran gehen soll.
> Würde mich wirklich sehr freuen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 10.05.2015 | | Autor: | Twixi |
Vielen Dank für den Hinweis. :)
Ich habe jetzt die Gleichung aufgestellt und komme auf:
[mm] abs((x-ln(|x|)*(1/x^2))/(1-1/|x|)^2))<1
[/mm]
Trotzdem komme ich bei der Auflösung des Terms nicht wirklich weiter. Ich möchte ja die Startwerte [mm] x_0 [/mm] finden. Könntest mir bitte helfen?
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Hallo Twixi,
> Vielen Dank für den Hinweis. :)
>
> Ich habe jetzt die Gleichung aufgestellt und komme auf:
> [mm]abs((x-ln(|x|)*(1/x^2))/(1-1/|x|)^2))<1[/mm]
>
> Trotzdem komme ich bei der Auflösung des Terms nicht
> wirklich weiter. Ich möchte ja die Startwerte [mm]x_0[/mm] finden.
> Könntest mir bitte helfen?
Hier ist doch das Minimum der Funktion f gesucht.
Damit ist eine Nullstelle von f' gesucht.
Dann ist die Ungleichung
[mm]\vmat{\bruch{f'*f'''}{f''^{2}}}< 1[/mm]
zu lösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 10.05.2015 | | Autor: | Twixi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, vielen Dank, habe ich gemacht :)
Die Ungleichung lautet dann:
$ \vmat{\bruch{(1-1/x\cdot{}-2/x^3}{1/x^4}< 1 $
Und die Lösung dieser Ungleichung ist: x>0,5.
Ist dies so richtig? Und was ist mit den Betragsstrichen von ln(|x|)? Hätte ich die bei den Ableitungen noch irgendwo berücksichtigen müssen?
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Hallo Twixi,
> Ok, vielen Dank, habe ich gemacht :)
> Die Ungleichung lautet dann:
> [mm]\vmat{\bruch{(1-1/x\cdot{}-2/x^3}{1/x^4}< 1[/mm]
>
Der Ausdruck auf der linken Seite stimmt nicht.
> Und die Lösung dieser Ungleichung ist: x>0,5.
>
Das ist nur eine Grenze.
> Ist dies so richtig? Und was ist mit den Betragsstrichen
> von ln(|x|)? Hätte ich die bei den Ableitungen noch
> irgendwo berücksichtigen müssen?
Nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 10.05.2015 | | Autor: | Twixi |
Wieso stimmt die Gleichung nicht? Ich habe die Ableitungen doch so eingesetzt, wie es die Formel verlangt.
Könntest du mir bitte sagen, wie sie richtig lautet - dann könnte ich damit weiterarbeiten.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe
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Hallo Twixi,
> Wieso stimmt die Gleichung nicht? Ich habe die Ableitungen
> doch so eingesetzt, wie es die Formel verlangt.
> Könntest du mir bitte sagen, wie sie richtig lautet -
> dann könnte ich damit weiterarbeiten.
>
Poste dazu Deine Ableitungen.
Die Ungleichung ist dann einfacher Natur:
[mm]\vmat{2-2*x}< 1[/mm]
> Vielen lieben Dank für deine Hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 10.05.2015 | | Autor: | Twixi |
Die Ungleichung habe ich auch raus - habe die Betragsstriche fälschlicherweise um die gesamte Ungleichung gemacht und nicht nur um den linken Teil.
Allerdings ist mir jetzt nicht klar, wie ich dies weiter auflösen kann, damit ich auf Grenzen für x komme.
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Hallo Twixi,
> Die Ungleichung habe ich auch raus - habe die
> Betragsstriche fälschlicherweise um die gesamte
> Ungleichung gemacht und nicht nur um den linken Teil.
> Allerdings ist mir jetzt nicht klar, wie ich dies weiter
> auflösen kann, damit ich auf Grenzen für x komme.
Es gibt 2 Fälle:
i) x < 1, dann schriebt sich die Ungleichuntg [mm]2-2x < 1[/mm]
ii) x > 1, dann schreibt sich die Ungleichung [mm]2x-2 < 1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 10.05.2015 | | Autor: | Twixi |
Oh man, vielen vielen lieben Dank.
D.h. für [mm] $x_0 \in [/mm] [-0.5,0.5] konvergiert das Newton-Verfahren gegen das Minimum x=1, richtig?
Ich kannte diese Formel/das Kriterium mit den Ableitungen gar nicht und finde es nicht wirklich im Internet. Könntest du dazu evtl einen Link posten? Das wäre super lieb.
Und noch einmal vielen herzlichen Dank für die Hife!
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Hallo Twixi,
> Oh man, vielen vielen lieben Dank.
> D.h. für [mm]$x_0 \in[/mm] [-0.5,0.5] konvergiert das
> Newton-Verfahren gegen das Minimum x=1, richtig?
>
Nein.
Das Newtonverfahren konvergiert für Startwerte [mm]x_{0} \in \left]0.5, \ 1.5\right[[/mm]
> Ich kannte diese Formel/das Kriterium mit den Ableitungen
> gar nicht und finde es nicht wirklich im Internet.
> Könntest du dazu evtl einen Link posten? Das wäre super
> lieb.
>
Grundsätzlich gilt, daß für den gewählten Startwert [mm]x_{0}[/mm]
der Betrag der Ableitung des Näherungsverfahrens kleiner 1 sein muss.
Dann konvergiert dies auch.
Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Newton-Verfahren
> Und noch einmal vielen herzlichen Dank für die Hife!
Gruss
MathePower
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