Stark konsistent Emp. Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Di 08.07.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Betrachte ein statistisches Modell mit [mm] L^2(P_{p}) [/mm] Zufallsvariablen [mm] X_{i}, [/mm] i [mm] \in [/mm] N, die unter allen [mm] P_{p} [/mm] p [mm] \in [/mm] Θ i.i.d sind. Betrachte weiter die Schätzer
[mm] X_{n} [/mm] = 1/n [mm] \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] und [mm] s_{n}^2 [/mm] = 1/(n-1) [mm] \summe_{i=1}^{n} (X_{i} [/mm] - [mm] X_{n})^2). [/mm] Es wurde schon gezeigt, dass [mm] X_{n} [/mm] erwartungstreu und stark konsistent und [mm] s_{n}^2 [/mm] erwartungstreu ist. Zeigen Sie, dass [mm] (s_{n}^2) [/mm] für n > 1 eine stark konsistente Folge von Schätzern für die Varianz [mm] V(X_{i}) [/mm] ist. |
Jeweils für n > 1:
[mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_{i} [/mm] - [mm] X_{n})^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_{i})^2 [/mm] - [mm] \bruch{n}{n-1} X_{n}^2
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_{i})^2 [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \bruch{1}{1-1/n} \summe_{i=1}^{n} (Z_{i})
[/mm]
mit [mm] Z_{i} [/mm] = [mm] (X_{i})^2
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (Z_{i})
[/mm]
= [mm] E(Z_{1}) [/mm] = [mm] E(X_{1}^2) [/mm] fast sicher nach dem starken Gesetz der großen Zahlen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n-1} X_{n}^2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n-1} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i})^2 [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \bruch{n}{1-1/n} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i})^2 [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \bruch{n}{1} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i})^2 [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i})^2 [/mm]
= [mm] E(X_{1})^2 [/mm] f.s. nach Gesetz der großen Zahlen
Also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n}^2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_{i} [/mm] - [mm] X_{n})^2)
[/mm]
= [mm] E(X_{1}^2) [/mm] - [mm] E(X_{1})^2 [/mm] = [mm] V(X_{i}) [/mm] fast sicher => starke konsistenz
Stimmt das? Sollte ich noch was ergänzen? Danke Euch!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Di 08.07.2014 | | Autor: | Fry |
Huhu,
sieht alles sehr gut aus,
ich weiß nicht, wie genau ihr das alles begründen müsst, beim Schritt
[mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i}\right)^2=(EX_1)^2[/mm] P-fast sicher würde ich noch anmerken, dass man das continuous mapping theorem
[mm] anwendet.($f:\mathbb R^m \to \mathbb [/mm] R$ stetig, [mm] $X_1$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $Y_1$ [/mm] fast sicher, usw. Dann folgt [mm] $f(X_1,...,X_m) [/mm] $ konvergiert gegen [mm] $f(Y_1,...,Y_m)$ [/mm] fast sicher)
Bzw man braucht es natürlich auch am Ende, wenn man die Limiten addiert
Über das [mm]X_n[/mm] würde ich noch nen Strich setzen, sonst kann man es ja nicht von der normalen Zufallsvariablen [mm]X_n[/mm] unterscheiden.
Gruß,
Fry
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