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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 24.05.2005 | | Autor: | sarina |
Hallo, ich bin Sarah, 22 und dies ist mein erster Eintrag, also meine erste Frage in einem der Foren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir machen gerade Integralrechnung und haben nun die Aufgabe eines Torus, also ich nenn das Schlauch, zu berechnen.
Dabei rotiert ein Kreis mit der Gleichung [mm] X^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm] = 4 um die X-Achse.
Um auf die Funktionsgleichung zu kommen habe ich dann nach y aufgelöst und folgende Funktion erhalten : f(x) = 2 [mm] \pm \wurzel[2]{4-x^2}
[/mm]
aus V = 2 [mm] \pi \integral_{0}^{2} [/mm] { [mm] (2+\wurzel[2]{4-x^2})^2 [/mm] - [mm] (2-\wurzel[2]{4-x^2})^2 [/mm] dx}
ergab sich nun V = 2 [mm] \pi \integral_{0}^{2} [/mm] {8 [mm] \wurzel{4-x^2} [/mm] dx}
Mein Problem ist nun, dass ich es nicht schaffe die Stammfunktion dazu zu bilden. Wenn ich die Wurzel entferne, indem ich statt der Wurzel die Potenz 0.5 verwende komme ich nicht weiter, das Pascallsche Dreieck gibt mir beispielsweise keine Informetion über die Lösung von [mm] (a-b)^{0.5}, [/mm] und auch sonstige Potenzregeln oder ähnliche konnten mir nicht weiterhelfen (bzw. hab wohl die richtige nicht gefunden oder steh auf dem Schlauch)...kann mir jemand bei meinem Problem helfen? Danke im voraus...Sarah
PS. Ist alles etwas schief geworden, ich hoffe es ist trotzdem alles verständlich...muss wohl noch was üben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 24.05.2005 | | Autor: | DarkSea |
da ist es in der tat ziemlich schwer, eine Stammfunktion zu bestimmen... mir fällt spontan bis auf numerische Methoden nichts ein.. Ich habs mal durch den Computer gesagt, der gibt mir als Stammfunktion (nur das Integral, ohne die [mm] 2\pi):
[/mm]
[mm] 16*asin(\bruch{x}{2}) [/mm] + [mm] 4x*\wurzel{4-x^{2}}
[/mm]
Aber wie man da so drauf kommen soll.. hmmm
Musst du das angeben oder reicht es, wenn du die stammfunktion hast ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Di 24.05.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
> [mm]16*asin(\bruch{x}{2})[/mm] + [mm]4x*\wurzel{4-x^{2}}[/mm]
>
> Aber wie man da so drauf kommen soll.. hmmm
durch die Substitution [mm]\begin{array}{l}
x\; = \;2\;\sin \;t \\
dx\; = \;2\;\cos \;t\;dt \\
\end{array}[/mm] kommt man auf den angegebenen Ausdruck.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mi 25.05.2005 | | Autor: | sarina |
Wow, das ging aber schnell! Erstmal vielen Dank euch drei, dass ihr versucht habt meine Frage zu beantworten!
Ich versuch das also nochmal zusammenzufassen:
Es gibt nur eine Möglichkeit um auf die Stammfunktion meines Integrals
...8 [mm] \wurzel{4-x^2}, [/mm] und zwar durch ein Verfahren welches sich Substitution nennt (ist mir nur aus der Nullstellenberechnung bekannt Bsp. [mm] x^2 [/mm] = u; hat aber wahrscheinlich mit der Substitution, die hier gemeint ist wenig zu tun?!)
Leider sagt mir : $ [mm] \begin{array}{l} x\; = \;2\;\sin \;t \\ dx\; = \;2\;\cos \;t\;dt \\ \end{array} [/mm] $ überhaupt gar nix.
mit der gegebene Stammfunktion bin ich ehrlich gesagt auch ein wenig überfordert, besser gesagt mit einem Teil davon und zwar mit:$ [mm] 16\cdot{}asin(\bruch{x}{2}) [/mm] $ . sinus ist in meinem Kopf ganz weit verdrängt, ich weiß nur, dass es was mit Trigonometrie und Dreiecken zu tun hat und dass: sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}
[/mm]
Ich bin also noch ziemlich weit weg von der Lösung dieser Aufgabe. Jedoch weiß ich durch eure Hilfe, nach was ich suchen muss. Ich werde mich mal an meine Bücher setzen und versuchen mir die Substitution zu erarbeiten und herauszufinden, was es nochmal mit dem sinus, cosinus und so weiter auf sich hat.
Ich werde euch Bescheid sagen, wenn ich es geschafft habe, oder ich einfach nicht weiterkomme.
Ich bin jedoch trotzdem niemand böse, der mir entweder Literaturtips geben kann, oder sich versuchen möchte mir die Trigonometrie nochmal näher zu bringen, oder mir die Substitution erklären möchte...Bücher sind immer so verwirrend...
vielen Dank...Sarah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Sarah,
Wenn ihr Integration durch Subtitution in der Schule noch nicht hattet, dann ist das hier nicht gerade ein einfaches Beispiel um in das Thema einzusteigen. Klick doch einfach mal ein wenig hier im Analysis Forum zurück. Hier gibt es unendlich viele Beiträge zum Thema Substitution.
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Di 24.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Sarah
deine bisherige Rechnung habe ich jetzt nicht kontrolliert, aber bei deinem Integral kann ich dir ein wenig helfen.
Bei Integralen der Form [mm] \integral {\wurzel{1-x^{2}}*dx} [/mm] verwendet man die Substitution:
[mm]x=sin(t)[/mm]
[mm]dx=cos(t)*dt[/mm]
Du mußt dein Integral nur ein wenig umformen! Ich habe jetzt leider keine Zeit dir die Substitution genauer zu erläutern. Aber vielleicht kommst du damit ja schon weiter!
Gruß Fabian
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