Stammfunktionen bei Wurzel(x+a < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mo 14.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Leider bin ich eines von vielen Opfern der neuen Reformen in Sachsen Anhalt.
Nueerdings heißt es hier profilfach und nicht mehr LK oder GK, was es erschwert den leuten dies verstehen oder verstehen wollen was beizubringen da auch leute jeweils dabei sind die es nicht verstehen oder nicht verstehen wollen. Dadurch wurde auch die anforderung gesenkt und somit fehlt mir etwas ziemlich wichtiges
wie berechne ich folgendes? :
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f( [mm] \wurzel{x²-a²}) [/mm] dx}
eine erläureung wie ich dort auf die Stammfunktion erschließen kann die etwas verständlicher ist als meine Mathe Enzyklopedie wäre schon sehr hilfreich, da dort ein Bsp. mit einer funktion gegeben ist, wo r mit einwirkt, dann direkt zu der normalen kreisberechnung mit pi gesprungen wird und mir der zusammenhang von pi und r in sachen integralen fehlt ( wie gesagt wurde einiges gekürzt und man kriegt nur noch die hälfte geleert, da wäre pisa kein wunder mehr -.-" ).
ggf. wäre auch die schwierigere variante mit
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f( [mm] (\wurzel{a²-b²}):(\wurzel{c²-d²})) [/mm] }
über eine auflösung dankbar, aber langsam ernährt sich das murmeltier und mir macht momentan mehr das prinzip der umkehrung der Kettenregel Probleme
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: habe bei der zweiten Formal mal das fälschliche dx weggenommen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo El Presi
Na dann wollen wir mal loslegen!!!
Um das Integral [mm] \integral {\wurzel{x^{2}-a^{2}}*dx} [/mm] zu lösen , mußt du die Substitution x=a*coshu anwenden
[mm]x=a*coshu[/mm] [mm] \bruch{dx}{du}=a*sinhu[/mm] [mm]dx=a*sinhu*du[/mm]
Dann mußt du [mm]x=a*coshu[/mm] in das Integral einsetzen
[mm] \integral {\wurzel{a^{2}*cosh^{2}u-a^{2}}*dx}*a*sinhu*du
[/mm]
Hinweis: Ich weiß nicht ob du den Hyperbolischen Pythagoras kennst , deswegen:
[mm] cosh^{2}x-sinh^{2}x=1
[/mm]
Wir wollen jetzt irgendwie den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen. Dafür müssen wir den H. Pythagoras nur ein wenig umformen.
[mm] cosh^{2}x-1=sinh^{2}x
[/mm]
Das kommt unserem Ausdruck unter der Wurzel schon ziemlich nahe , aber noch nicht ganz!
Wir ziehen deswegen [mm] a^{2} [/mm] einfach aus der Wurzel
[mm] a*\wurzel{cosh^{2}u-1}
[/mm]
Jetzt können wir die Wurzel mit Hilfe des H. Pythagoras ersetzen.
[mm] \integral {a*sinhu*a*sinhu*du}=\integral {a^{2}*sinhu*du}
[/mm]
Jetzt müssen wir das Integral [mm] a^{2}\integral {sinh^{2}u*du} [/mm] berechen
Das ist aber auch nicht schwer , wenn man weiß das [mm] sinh^{2}x=\bruch{1}{2}[cosh(2x)-1] [/mm] ist!
Wir erhalten dann:
[mm] \bruch{1}{2} \integral {cosh(2u)*du}-\bruch{1}{2} \integral {1*du}=\bruch{1}{2}(sinhu*coshu-u)
[/mm]
Jetzt dürfen wir nur nicht das [mm] a^{2} [/mm] vergessen:
[mm] \bruch{a^{2}}{2}(sinhu*coshu-u)
[/mm]
Ich hab das ganze mal ohne Grenzen gerechnet! Aber das solltest du auch alleine hinbekommen. Ein bißchen Arbeit muß ja auch noch für dich übrig bleiben!
Gruß Fabian
PS : Alles bitte noch mal nachrechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 14.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
ab x=a*coshu ist mir dein rechenweg sogar mal völlig klar, auch wenn mir cosh und sinh bisher nur als zeichen auf meinem taschen rechner und immer wiederkehrende worte in meiner enzyklopedie näherkamen.
jedoch frage ich mich, wie kommst du auf x=a*coshu ?? wo steckt da die beziehung ??
wie wäre es denn bei ??
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f( [mm] \wurzel{a²-(b-x)²}) [/mm] dx}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo ,
Es handelt sich hier um Standard-Substitutionen. Wie man darauf kommt , weiß ich auch nicht! 
Ich zähl mal ein paar auf:
[mm] \wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm] => [mm]x=a*sinu[/mm]
[mm] \wurzel{x^{2}+a^{2}} [/mm] => [mm]x=a*sinhu[/mm]
[mm] \wurzel{x^{2}-a^{2}} [/mm] => [mm]x=a*coshu[/mm]
Um noch mal auf dein Beispiel zurückzukommen
Hier würde ich [mm] t=(b-x)^{2} [/mm] substituieren und dann die Substitution [mm]t=a*sinu[/mm] anwenden.
An deiner Stelle würd ich mir die Substitutionen einfach merken.
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 14.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
ok, dann werd ich mir die mal anschauen, jedoch muss ich sagen das ich trotzdem etwas unzufrieden mit dieser tatsache bin, deshalb wäre jetzt meine frage immernoch, wo der zusammenhang besteht ;)
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Hallo ELPresi,
> ok, dann werd ich mir die mal anschauen, jedoch muss ich
> sagen das ich trotzdem etwas unzufrieden mit dieser
> tatsache bin, deshalb wäre jetzt meine frage immernoch, wo
> der zusammenhang besteht ;)
>
Während das Differenzieren ziemlich schematisch abläuft,
ist Integrieren "eine Kunst" (wie ein Mathelehrer mir vor vielen Jahren mal gesagt hat).
Insbesondere dann, wenn man substituieren muss/kann, gibt es keine festen Regeln mehr, sondern nur Erfahrungswerte.
Und es gibt Bücher, in denen die am häufigsten gebrauchten Substitutionen aufgeführt sind.
Das bedeutet, dass man sie entweder nachschlagen darf oder auswendig gelernt hat oder durch mühsames Probieren selbst herausgefunden hat.
Und manchmal gibt es sogar mehrere Wege, die zum Ziel die Stammfunktion ergeben:
eben "Kunst kommt von Können".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 14.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Also beantwortet hat deine antwort meine frage nun absolut nicht. du hast nur weiter festgestellt, das es in büchern steht und leuten anscheinend nicht beigebracht wird warum es so ist.
da mag ich die physik lieber, da gibt es seine SI einheiten, kann man alles drauf zurück führen und sämtliche formeln besitzen einen zusammenhang mit anderen, die auch gelehrt werden.
jedoch gibt es auch in der mathematik grundrechenarten und am ende ist doch auch wenn der weg länger dauert alles darauf zurück zu führen und smit muss es doch eine regel geben, wie man das integriert, schließlich gibt es in der informatik auch programme die schwierigste gleichungssteme lösen können und auch solche wo es keine schriften gibt, wo direkt die lösung steht für die substitution.
besonders das herrausfinden durch probieren stellt für mich ehrlichgesagt nicht die kunst der mathematik dar, sondern dies ist was jeder sich zu nutze machen kann, die kunst ist doch das prinzip soweit zu verstehen und soweit zu durchblicken.
Am ende haben wir natürlich einige regeln auch einfach so gelehrnt ohne wirklich eine herleitung begonnen zu haben, jedoch sollte man bei rechnenarten doch können sämtlichen möglichen operationen so zu können das man alles abdecken kann.
kurz gesagt irgendwie muss man auch auf die werte gekommen sein und das muss auch mit beweisen gefestigt sein sonst wäre es nicht anerkannt.
Und da die mathematik immernoch vom Menschen erschaffen wurde ( auch wenn einige die Mathematik fast mit sowas wie der Natur gleichsetzen, und als wenn sie den Memnschen übersteigen würde .. ) gelten auch gewisse regeln und da das prinzip der mathematik auf logik aufbaut muss es auch eine logik hinter jeder rechnung geben.
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Hallo ElPresi,
> du hast nur weiter festgestellt, das es in büchern steht
So ist es auch. Bücher sind ein Speichermedium für Informationen. Übrigens eines der ältesten der Welt. Informatik ist die Wissenschaft von der Information. Und Bücher sind aus der Sicht der Informatik nichts weiter als eine Form der Informationsübertragung.
> und leuten anscheinend nicht beigebracht wird warum es so ist.
Wieso das? Der MatheRaum ist doch ein gutes Beispiel, wo das einem beigebracht wird.
> da mag ich die physik lieber, da gibt es seine SI
> einheiten, kann man alles drauf zurück führen und sämtliche
> formeln besitzen einen zusammenhang mit anderen, die auch
> gelehrt werden.
Auch die Mathematik ist eine Naturwissenschaft. Nur hat man da in einigen Gebieten einen wesentlich abstrakteren Zugang zur Wirklichkeit im Gegensatz zu anderen Naturwissenschaften. Wenn Du aber feststellen willst, wie wirklichkeitsgetreu Mathe sein kann, dann zeichne doch mit einem Zirkel einen Kreis. Nimm einen Faden und lege ihn um die Kreislinie so, daß er ungefähr passt. Miß dann die Länge des Fadens. Miß dann mit einem Lineal die Länge des Kreisdurchmessers und teile die Länge des Fadens durch diese Länge. Damit approximierst du eine sehr berühmte Zahl, die Ludolfsche Konstante [mm] $\pi$.
[/mm]
> jedoch gibt es auch in der mathematik grundrechenarten und
> am ende ist doch auch wenn der weg länger dauert alles
> darauf zurück zu führen und smit muss es doch eine regel
> geben, wie man das integriert,
Sicher die Regeln lauten: Produktintegration, Substitution, Linearität der Integration, ... . Dennoch hat informix da Recht. Diese Regeln können dir nur eine Anleitung geben, wie man das Integral lösen könnte. Du mußt am Ende aber eine Idee zur Lösung haben. Wenn du aber unbedingt ein Kochrezept für Integration haben willst, so schau doch einfach mal im Internet. Suche z.B. nach einem gewissen Thomas Simpson und seiner Trapezformel. Oder nach der Keplerschen Faßregel.
> schließlich gibt es in der
> informatik auch programme die schwierigste gleichungssteme
> lösen können und auch solche wo es keine schriften gibt, wo
> direkt die lösung steht für die substitution.
Wie funktionieren Schachprogramme? Ein Schachprogramm hätte den Menschen niemals erstmals besiegen können (schau im Internet nach Deep Blue vs. Kasparov), hätte der Mensch dem Computer nicht einige Verhaltensmuster in ganz bestimmten Stellungen auf dem Schachbrett beigebracht. Nicht umsonst benutzen heutige Schachprogramme riesige Eröffnungs- und Stellungsbücher, um gegen wahre Schachmeister bestehen zu können. So ähnlich ist das dann auch mit C.A.S.-Systemen. Die wissen halt, welche Substitutionen bei welchen Arten von Gleichungen am wirkungsvollsten sind, weil der Mensch es ihnen beigebracht hat.
> besonders das herrausfinden durch probieren stellt für mich
> ehrlichgesagt nicht die kunst der mathematik dar,
Dann schaue dir den ![[]](/images/popup.gif) Vier-Farben-Satz an.
Viele Grüße
Karl
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