Stammfunktionen Berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 28.06.2010 | | Autor: | maxi_20 |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die Stammfunktionen bzw. Integrale:
[mm] \integral{\wurzel{-x^2 - 6x} dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie die Stammfunktionen bzw. Integrale:
[mm] \integral{x sin^2(x) dx} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Berechnen Sie die Stammfunktionen bzw. Integrale:
[mm] \integral{\bruch{x^4 + 1}{(x-1) (x^2+1)^2} dx}
[/mm]
Hinweis zur Aufgabe: [mm] \integral{\bruch{1}{(x^2+1)^2} dx} [/mm] erfordert eine Rekursionsformel |
Zu Aufgabe a)
Hier habe ich mit partieller Integration angesetzt:
Erst habe ich das Integral in die Form [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] gebracht:
[mm] \integral{\wurzel{-x^2 - 6x} dx} [/mm] = [mm] 3*\integral{\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}dx}
[/mm]
als nächstes habe ich partiell Integriert:
[mm] \integral{\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}dx} [/mm] = [mm] x*\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2} [/mm] - [mm] \integral{\bruch{2x^2 + 6x}{6*\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}}dx}
[/mm]
und hier komme ich nicht mehr wirklich weiter.
Ich müsste da ja eigentlich in einen Teil [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] und einen Teil [mm] \bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] zerlegen nur finde ich hierfür überhaupt keinen Ansatz. Wäre schön wenn mir jemanden nen Tipp geben könnte wie ich da weiter ansetzen könnte.
Zu Aufgabe b)
auch hier habe ich mit der Partiellen Integration angesetzt:
[mm] \integral{x sin^2(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{2}*sin^2(x) [/mm] - [mm] \integral{x^2 *sin(x)*cos(x) dx}
[/mm]
nun fehlt mir hier der Ansatz wie ich weiter machen soll. Wie soll ich f' und g weiter wählen damit ich zu dem gewünschten Ergebniss komme. Nämlich das mein zu Lösendes Integral wieder als Teilintegral in meiner Partiellen Integration auftaucht.
zu Aufgabe c)
Hier habe ich es mit einer Partialbruchzerlegung versucht:
Zuerst die Nullstellen des Nenners bestimmt:
Die wären 1, j, -j
Als nächstes habe ich über den Koeffizientenvergleich das zerlegte Teilintegral ausgerechnet:
[mm] \integral{\bruch{x^4 + 1}{(x-1) (x^2+1)^2} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{2(x-1)} + \bruch{x+1}{2(x^2+1)} - \bruch{x+1}{(x^2+1)^2} dx}
[/mm]
Auch das integrieren der ersten beiden Teilintegrale habe ich noch hinbekommen. Nur weiß ich nicht wie ich das mit der Rekursionsformel zu verstehen habe.
Ich würde mich sehr freuen wenn Ihr mir da ein wenig auf die Sprünge helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mit freundlichen Grüßen
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mo 28.06.2010 | | Autor: | wauwau |
> Berechnen Sie die Stammfunktionen bzw. Integrale:
> [mm]\integral{\wurzel{-x^2 - 6x} dx}[/mm]
> Berechnen Sie die
> Stammfunktionen bzw. Integrale:
> [mm]\integral{x sin^2(x) dx}[/mm]
> Berechnen Sie die
> Stammfunktionen bzw. Integrale:
> [mm]\integral{\bruch{x^4 + 1}{(x-1) (x^2+1)^2} dx}[/mm]
> Hinweis
> zur Aufgabe: [mm]\integral{\bruch{1}{(x^2+1)^2} dx}[/mm] erfordert
> eine Rekursionsformel
> Zu Aufgabe a)
> Hier habe ich mit partieller Integration angesetzt:
> Erst habe ich das Integral in die Form [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm]
> gebracht:
> [mm]\integral{\wurzel{-x^2 - 6x} dx}[/mm] =
> [mm]3*\integral{\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}dx}[/mm]
Hier würde ich mal [mm] $\bruch{x+3}{3}$ [/mm] durch $sin(x)$ substituieren
>
> als nächstes habe ich partiell Integriert:
> [mm]\integral{\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}dx}[/mm] =
> [mm]x*\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}[/mm] - [mm]\integral{\bruch{2x^2 + 6x}{6*\wurzel{1-(\bruch{x+3}{3})^2}}dx}[/mm]
>
> und hier komme ich nicht mehr wirklich weiter.
> Ich müsste da ja eigentlich in einen Teil
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] und einen Teil
> [mm]\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] zerlegen nur finde ich hierfür
> überhaupt keinen Ansatz. Wäre schön wenn mir jemanden
> nen Tipp geben könnte wie ich da weiter ansetzen könnte.
>
> Zu Aufgabe b)
Hier würde ich
[mm] $\integral{sinx(x sin(x)) dx}$ [/mm] partiell integrieren und ausnützen, dass [mm] sin^2(x)=1-cos^2(x)$ [/mm] ist
> auch hier habe ich mit der Partiellen Integration
> angesetzt:
> [mm]\integral{x sin^2(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{x^2}{2}*sin^2(x)[/mm] -
> [mm]\integral{x^2 *sin(x)*cos(x) dx}[/mm]
>
> nun fehlt mir hier der Ansatz wie ich weiter machen soll.
> Wie soll ich f' und g weiter wählen damit ich zu dem
> gewünschten Ergebniss komme. Nämlich das mein zu
> Lösendes Integral wieder als Teilintegral in meiner
> Partiellen Integration auftaucht.
>
> zu Aufgabe c)
Hier würde ich mal $x=tan y$ substituieren, dann fällt viel weg....
> Hier habe ich es mit einer Partialbruchzerlegung
> versucht:
> Zuerst die Nullstellen des Nenners bestimmt:
> Die wären 1, j, -j
>
> Als nächstes habe ich über den Koeffizientenvergleich das
> zerlegte Teilintegral ausgerechnet:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^4 + 1}{(x-1) (x^2+1)^2} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{2(x-1)} + \bruch{x+1}{2(x^2+1)} - \bruch{x+1}{(x^2+1)^2} dx}[/mm]
>
> Auch das integrieren der ersten beiden Teilintegrale habe
> ich noch hinbekommen. Nur weiß ich nicht wie ich das mit
> der Rekursionsformel zu verstehen habe.
>
> Ich würde mich sehr freuen wenn Ihr mir da ein wenig auf
> die Sprünge helfen könntet.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> mit freundlichen Grüßen
> Max
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 28.06.2010 | | Autor: | maxi_20 |
zu Aufgabe a)
Ich habe die Aufgabe jetzt nochmal mit dem Ansatz Substition [mm] \bruch{x+3}{3} [/mm] = sin(t) versucht.
[mm] 3*\integral{\wurzel{1 - sin^2(t)} * \bruch{1}{cos(t)} dt}
[/mm]
dann wäre ja die stammfunktion
[mm] 3*\integral{\wurzel{cos^2(t)} * \bruch{1}{cos(t)} dt} [/mm] = 3 * [mm] \integral{dt} [/mm] = 3*t = [mm] 3*arcsin(\bruch{x+3}{3}) [/mm]
oder hab ich da schon im Ansatz einen Fehler drin?
Ich stecke nämlich im moment mitten in der Klausurvorbereitung und rechne alle Übungszettel noch einmal durch und das Ergebniss stimmt nicht mit meinem Musterergebniss überein.
zu den Anderen beiden Aufgaben:
Danke für die schnelle Antwort mit den Tipps. Hab mit eurer Hilfe die Aufgaben lösen können.
Gruß
Max
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Hallo maxi_20,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> zu Aufgabe a)
>
> Ich habe die Aufgabe jetzt nochmal mit dem Ansatz
> Substition [mm]\bruch{x+3}{3}[/mm] = sin(t) versucht.
>
> [mm]3*\integral{\wurzel{1 - sin^2(t)} * \bruch{1}{cos(t)} dt}[/mm]
[mm]\cos\left(t\right)[/mm] muß im Zähler stehen,
denn aus
[mm]\bruch{x+3}{3} = sin(t) [/mm]
folgt
[mm]dx = 3*\cos\left(t\right) \ dt[/mm]
Demnach ist folgendes Integral zu berechen:
[mm]3*\integral{\wurzel{1 - sin^2(t)} * 3*\cos(t) \ dt}[/mm]
>
> dann wäre ja die stammfunktion
> [mm]3*\integral{\wurzel{cos^2(t)} * \bruch{1}{cos(t)} dt}[/mm] = 3
> * [mm]\integral{dt}[/mm] = 3*t = [mm]3*arcsin(\bruch{x+3}{3})[/mm]
> oder hab ich da schon im Ansatz einen Fehler drin?
Siehe oben.
> Ich stecke nämlich im moment mitten in der
> Klausurvorbereitung und rechne alle Übungszettel noch
> einmal durch und das Ergebniss stimmt nicht mit meinem
> Musterergebniss überein.
>
> zu den Anderen beiden Aufgaben:
> Danke für die schnelle Antwort mit den Tipps. Hab mit
> eurer Hilfe die Aufgaben lösen können.
>
> Gruß
> Max
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 29.06.2010 | | Autor: | maxi_20 |
Okay Vielen Dank für die Hilfe. Hab jetzt die Aufgabe ohne Probleme lösen können und komme auch auf das Ergebniss der Musterlösung.
Gruß Max
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