Stammfunktion vom Ln < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Ehepaar gewinnt in einer Lotterie 100.000 , die allerdings
zu einem festen Zinssatz auf einer Bank liegen. Sobald der Betrag
sich verdoppelt hat, werden die dann anfallenden Zinsen
lebenslang quasi als kleine Rente ausbezahlt.
Ermitteln Sie eine Funktion, die in Abhängigkeit vom Zinssatz
die Anzahl von Jahren angibt, nach denen die Rentenzahlung
einsetzt und erstellen in einem realistischen Definitionsbereich
eine Wertetabelle.
Wie groß ist die durchschnittliche Wartezeit auf die Rentenzahlung
bei einer Verzinsung zwischen 5% und 8%? |
So ein freundliches hallöle an alle!
Also wir haben diese Aufgabe im Unterricht bearbeitet, sind dann aber an der Stammfunktion des Logarithmus naturalis gescheitert.
Den Funktionsterm zu der Aufgabe haben wir schon aufgestellt:
f(x)= [mm] \bruch{ln2}{ln(x+1)}
[/mm]
Um die Wartezeit zu berechnen brauchen wir ja das Integral...:
[mm] \bruch{1}{0,03} \integral_{0,05}^{0,08}{f(x) dx}
[/mm]
So nun sind wir allerdings nicht weitergekommen...
Man bräuchte doch jetzt die Stammfunktion von f(x) (bei uns immer F(x) ).
Allerdings wusste keiner wie man den ln aufleitet, auch unser Lehrer nicht...
Wäre super nett wenn mir jemand helfen könnte!!
Danke schonmal
Gruß
Paddy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Allerdings wusste keiner wie man den ln aufleitet, auch
> unser Lehrer nicht...
Hallo Paddy,
also ginge es zunächst einfach mal darum, eine Stamm-
Funktion F zu finden mit F'(x)=ln(x) ?
Das klappt mit partieller Integration ("Produktintegration"),
wenn man dem ln(x) einen Faktor 1 beifügt und dann
diesen Faktor integriert und den Faktor ln(x) ableitet:
[mm] $\integral [/mm] ln(x)\ dx\ =\ [mm] \integral \underbrace{1}_{integrieren}*\underbrace{ln(x)}_{ableiten}\ [/mm] dx\ =\ \ ........$
Gruß Al-Chwarizmi
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Hallo Paddy,
nachdem ich dein Problem nochmals genau angeschaut
habe, wurde mir auch klar, dass es offenbar nicht ein-
fach darum geht, "den ln aufzuleiten" oder richtig gesagt
zu integrieren. Der heikle Punkt ist, dass in dem Integranden
der Logarithmus im Nenner steckt. Wie weightgainer schon
angegeben hat, ist die Integration via Stammfunktion
bei diesem Integral offenbar gar nicht möglich.
Ich nehme doch einmal an, dass auch eurem Lehrer die
Integration der Logarithmusfunktion (wie vorher gezeigt)
klar ist.
LG
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... ansonsten würde ich mir schon den ein oder anderen Gedanken machen als Schüler... 
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Hallo,
in deiner Funktion geht es ja um [mm] \bruch{1}{ln(x+1)}. [/mm] Dafür gibt es meines Wissens keine analytische Lösung, d.h. du kannst hier nur eine Näherung finden. Für ln(x) geht es so wie in der anderen Antwort beschrieben.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du übrigens deine Aufgabe inklusive Lösungshinweis.
Gruß,
weightgainer
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Vielen Dank an euch für die schnelle Antwort!!
Die Seite mit der Frage und Antwort war echt super, allerdings steht das ja nun auch nicht der Lösungsweg, sondern nur die Lösung...
Zu der Sache mit den Gedanken machen, Gedanken mach ich mir in der ein oder anderen Situation schon...
Aber nun hab ich doch noch eine Frage:
wenn ich das jetzt so integiere wie Al-Chwarizmi das beschrieben hat, sieht das denn ungefähr so aus:
[mm] \bruch{1}{0,03} \integral_{0,05}^{0,08}{1* \bruch{ln2}{(ln(x+1))'}dx} [/mm]
?
dabei sieht dann (ln(x+1))' so aus: [mm] \bruch{1}{x+1}*1
[/mm]
?
Gruß
Paddy
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Hallo, bedenke die partielle Integration funktioniert nur, wenn der ln im Zähler steht, Steffi
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das heißt jetzt für mich das es gar nicht funktioniert??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mi 10.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das wurde dir doch mehrfach gesagt. man kann dieses Integral durch keine bekannte funktion F(x) loesen.
Man kann es nur numerisch loesen, oder die flaeche unter dem Graphen abschaetzen.
gruss leduart
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