Stammfunktion und Ableitung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechne zu den trigonometrischen Umkehrfunktionen arcsinx,arccosx und arctanx eine Stammfunktion.
Zeige zunächst,dass für die Ableitung dieser Umkehrfunktionen die Gleichungen [mm] arcsin'x=\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}, [/mm] arccos'x=-arcsinx und [mm] arctan'x=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] gelten. |
Hallo zusammen^^
Also bei dieser Aufgabe hab ich große Schwierigkeiten,ich soll ja zuerst die obenstehenden Ableitungen beweisen.Ich hab überhaupt keinen Plan,wo ich da ansetzen soll,spontan hätte ich gesagt dass arcsin'x=arccosx ist,aber wie man auf diesen Ausdruck oben kommt,weiß ich nicht.
Könnt ihr vielleicht einen Tipp geben,wie ich an die Aufgabe rangehen kann?
Das wär echt lieb.
vielen dank
lg
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Hallo Mandy,
du musst stur die Regel für die Ableitung der Umkehrfuktion benutzen und die Zusammenhänge zwischen Sinus und Cosinus, die du so kennst.
Ich zeige dir mal am Bsp. der Ableitung von [mm] $\arcsin(x)$, [/mm] wie es geht:
Die Regel für die Ableitung der UKF lautet ja:
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\left(f^{invers}\right)'(f(x))}$
[/mm]
Die Umkehrfunktion von [mm] $f(x)=\arcsin(x)$ [/mm] ist [mm] $f^{invers}(x)=\sin(x)$
[/mm]
Also [mm] $\arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))}$
[/mm]
ok soweit?
Also [mm] $...\Rightarrow\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}$
[/mm]
Nun weißt du, das [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$, [/mm] also [mm] $\cos(z)=\sqrt{1-\sin^2(z)}$
[/mm]
Damit also [mm] $\Rightarrow\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}$
[/mm]
Den letzten kleinen Rest schaffst du, denke daran, dass [mm] $\sin,\arcsin$ [/mm] invers zueinander sind ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
erst mal vielen Dank für die gute Erklärung =)
> du musst stur die Regel für die Ableitung der Umkehrfuktion
> benutzen und die Zusammenhänge zwischen Sinus und Cosinus,
> die du so kennst.
>
> Ich zeige dir mal am Bsp. der Ableitung von [mm]\arcsin(x)[/mm], wie
> es geht:
>
> Die Regel für die Ableitung der UKF lautet ja:
>
> [mm]f'(x)=\frac{1}{\left(f^{invers}\right)'(f(x))}[/mm]
>
> Die Umkehrfunktion von [mm]f(x)=\arcsin(x)[/mm] ist
> [mm]f^{invers}(x)=\sin(x)[/mm]
>
> Also [mm]\arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))}[/mm]
>
> ok soweit?
>
> Also [mm]...\Rightarrow\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}[/mm]
>
> Nun weißt du, das [mm]\sin^2(z)+\cos^2(z)=1[/mm], also
> [mm]\cos(z)=\sqrt{1-\sin^2(z)}[/mm]
>
> Damit also
> [mm]\Rightarrow\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}[/mm]
>
> Den letzten kleinen Rest schaffst du, denke daran, dass
> [mm]\sin,\arcsin[/mm] invers zueinander sind ...
Heißt das,dass sich sin und arcsin gegenseitig wegheben?
Ich weiß aber nicht so richtig,wie ich das aufschreiben soll und wie das [mm] x^{2} [/mm] daraus kommen soll, das Quadrat kommt wahrscheinlich von sin oder ?
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Hallo nochmal,
> Heißt das,dass sich sin und arcsin gegenseitig wegheben? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja!
> Ich weiß aber nicht so richtig,wie ich das aufschreiben
> soll
[mm] $\arcsin(\sin(x))=x$ [/mm] und [mm] $\sin(\arcsin(x))=x$
[/mm]
> und wie das [mm]x^{2}[/mm] daraus kommen soll, das Quadrat
> kommt wahrscheinlich von sin oder ?
Klar, da steht unter der Wurzel [mm] $1-\left(\sin(z)\right)^2$ [/mm] mit [mm] $z=\arcsin(x)$
[/mm]
Schreibe zur Sicherheit [mm] $\sin^2(\arcsin(x))=\left(\sin(\arcsin(x))\right)^2=\sin(\arcsin(x))\cdot{}\sin(\arcsin(x))$, [/mm] dann siehst du's vllt. besser.
(Aber du weißt ja eigentlich auch, wo du hinwillst, du weißt ja nach der Aufgabenstellung schon, was als Ableitung rauskommen soll)
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank,ich werd mal gleich die anderen versuchen ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
So,ich hab jetzt mal arccos'(x) berechnet und hab [mm] arccos'(x)=-\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] ist da ok so?
Die Ableitungen kann ich jetzt aber was bringt mir das für die Stammfunktion?
Ich hab doch nix davon,wenn ich die Stammfunktion haben will und die Ableitung berechne,ich weiß immer noch nicht wie ich an die Stammfunktion ran soll????
lg^^
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Hallo nochmal,
> So,ich hab jetzt mal arccos'(x) berechnet und hab
> [mm]arccos'(x)=-\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm] ist da ok so?
Ja, sehr gut gemacht!
> Die Ableitungen kann ich jetzt aber was bringt mir das für
> die Stammfunktion?
> Ich hab doch nix davon,wenn ich die Stammfunktion haben
> will und die Ableitung berechne,ich weiß immer noch nicht
> wie ich an die Stammfunktion ran soll????
Dann noch ein Tipp:
Schreibe zB. [mm] $\int{\arccos(x) \ dx}=\int{1\cdot{}\arccos(x) \dx}$
[/mm]
und wende partielle Integration an ..
Aber das ist eigentlich schon zuviel verraten 
>
> lg^^
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Dann noch ein Tipp:
>
> Schreibe zB. [mm]\int{\arccos(x) \ dx}=\int{1\cdot{}\arccos(x) \dx}[/mm]
>
> und wende partielle Integration an ..
>
Ah,stimmt,danke für den Tipp,aber irgendwie komm ich aber noch nicht aufs richtige Ergebnis.
Also ich nehme u'=1 und v=arcsin(x)
[mm] =x*arcsin(x)-\integral_{}^{}{1*\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}
[/mm]
Zuerst berechne ich [mm] \integral_{}^{}{1*\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx} [/mm] dazu substituiere ich [mm] z:=\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
[mm] dx=2*\wurzel{1-x^{2}} [/mm] dz
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}*2z dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{2 dz}=[2z]=2*\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Dann wäre meine Stammfunktion [mm] x*arcsin(x)-2*\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Wo liegt denn hier mein Fehler?
lg
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Hallo Mandy,
>
> > Dann noch ein Tipp:
> >
> > Schreibe zB. [mm]\int{\arccos(x) \ dx}=\int{1\cdot{}\arccos(x) \dx}[/mm]
>
> >
> > und wende partielle Integration an ..
> >
>
> Ah,stimmt,danke für den Tipp,aber irgendwie komm ich aber
> noch nicht aufs richtige Ergebnis.
> Also ich nehme u'=1 und v=arcsin(x)
>
> [mm] $=x*arcsin(x)-\integral_{}^{}{\red{1}*\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}$
[/mm]
Ai, genau hier ist dir ein folgenschwerer Fehler unterlaufen, im hinteren Integral muss [mm] $\int{\red{x}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} \ dx}$ [/mm] stehen, dann kannst du die Substitution [mm] $z:=1-x^2$ [/mm] machen ...
>
> Zuerst berechne ich
> [mm]\integral_{}^{}{1*\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm] dazu
> substituiere ich [mm]z:=\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> [mm]dx=2*\wurzel{1-x^{2}}[/mm] dz
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}*2z dz}[/mm]
> [mm]=\integral_{}^{}{2 dz}=[2z]=2*\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> Dann wäre meine Stammfunktion
> [mm]x*arcsin(x)-2*\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> Wo liegt denn hier mein Fehler?
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> [mm]=x*arcsin(x)-\integral_{}^{}{\red{1}*\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> Ai, genau hier ist dir ein folgenschwerer Fehler
> unterlaufen, im hinteren Integral muss
> [mm]\int{\red{x}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} \ dx}[/mm]
> stehen, dann kannst du die Substitution [mm]z:=1-x^2[/mm] machen
Oh,das war wohl unachtsam von mir,ich habs nochmal gerechnet und bin jetzt aufs richtige Ergebnis gekommen,dann hab ich auch grad [mm] \integral_{}^{}{arctan(x) dx} [/mm] berechnet:
[mm] =\integral_{}^{}{1*arctan(x) dx}
[/mm]
[mm] =x*arctan(x)-\integral_{}^{}{x*\bruch{1}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] =x*arctan(x)-\integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Jetzt berechne ich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Substitution: [mm] z:=1+x^{2}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2x}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{2z} dz}
[/mm]
Ich find jetzt die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] nicht,das ist ja ln(...) aber ln(2z) kann es nicht sein,weil das abgeleitet [mm] \bruch{1}{z} [/mm] gibt?
Hab ich bis hierhin überhaupt richtig gerechnet?
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Hallo nochmal,
>
> >
> [mm]=x*arcsin(x)-\integral_{}^{}{\red{1}*\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> >
> > Ai, genau hier ist dir ein folgenschwerer Fehler
> > unterlaufen, im hinteren Integral muss
> > [mm]\int{\red{x}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} \ dx}[/mm]
> > stehen, dann kannst du die Substitution [mm]z:=1-x^2[/mm] machen
>
> Oh,das war wohl unachtsam von mir,ich habs nochmal
> gerechnet und bin jetzt aufs richtige Ergebnis
> gekommen,dann hab ich auch grad [mm]\integral_{}^{}{arctan(x) dx}[/mm]
> berechnet:
>
> [mm]=\integral_{}^{}{1*arctan(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=x*arctan(x)-\integral_{}^{}{x*\bruch{1}{1+x^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]=x*arctan(x)-\integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^{2}} dx}[/mm]
>
> Jetzt berechne ich [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^{2}} dx}[/mm]
>
> Substitution: [mm]z:=1+x^{2}[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2z} dz}[/mm]
Jau, das sieht gut aus !
>
> Ich find jetzt die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{2z}[/mm]
> nicht,das ist ja ln(...) aber ln(2z) kann es nicht
> sein,weil das abgeleitet [mm]\bruch{1}{z}[/mm] gibt?
Och, wie ist das denn mit den multiplikativen Konstanten?
Die kann man doch vor das Integral holen, also [mm] $\int{\frac{1}{2z} \ dz}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{z} \ dz} [/mm] ...$
>
> Hab ich bis hierhin überhaupt richtig gerechnet?
Jo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Do 27.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich find jetzt die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{2z}[/mm]
> > nicht,das ist ja ln(...) aber ln(2z) kann es nicht
> > sein,weil das abgeleitet [mm]\bruch{1}{z}[/mm] gibt?
>
> Och, wie ist das denn mit den multiplikativen Konstanten?
>
> Die kann man doch vor das Integral holen, also
> [mm]\int{\frac{1}{2z} \ dz}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{z} \ dz} ...[/mm]
>
> >
Aaaah,stimmt ja,das ist mir gar nicht eingefallen,vielen dank =)
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